高等数学教案 第五章定积分 在[a,b]上具有导数，并且它的导数为 闲=品0h=f()(ac-h 证若x∈(a,b),取△x使x+△xE(a,b),则 y=f(x) △D=D(r+△x)-D(x) -["f(d-frdr /(x) -fr(dr+[fd-ffdr 号+b -["fd=M)x, 应用积分中值定理，有△D=f()△x, 其中在x与x+△x之间，△x0时，5x.于是 -一架-一/8=⑤=. → 若x=a,取△x>0,则同理可证中+'(x)=;若x=b,取△r<0,则同理可证中_'(x)=b). 定理2如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数 D(x)=ff(x)dx 就是fx)在[a,b]上的一个原函数 这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭 示了积分学中的定积分与原函数之间的联系， 三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3如果函数F(x)是连续函数x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 tfxk=F⑥)-Fa. 此公式称为牛顿一莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式： 证已知函数Fx)是连续函数x)的一个原函数，又根据定理2，积分上限函数 Φ6w)=f0)dl 也是x)的一个原函数.于是有一常数C,使 Fx)-D(x)=C(a≤r≤b): 当x=a时，有F(a)Φ(a=C,而(a)=0,所以C=F(a；当=b时，F(b)-(b)=F(a,所以 D(b)=Fb)-F(a),即 [f(x)dx=F(b)-F(@). 2