30与2不相关 设各以的概率取值土1,±2.由于E=0,且E(3)=0.所以cov(,2)=0 即与2不相关但是与2之间有着非线性关系 可见,相关系数并不是相依性的一般度量,仅仅指出两个随机变量间的线性相依 31一阶矩存在的一个必要但不充分条件 设随机变量X的分布函数为F易知若EX存在,则有imx→∞(1-F(x))=0.但 如果lmx→∞x(1-F(x)=0存在,不一定能得到数学期望EX存在 例假定分布函数为 F(r) 1-1/(kx) x<e,k=1,2 直接可得mx→xx(1-F(x)=0,(1-F()dr=∞,故EX=(1-F(x)d不 存在 32在有限区间内特征函数的值不足以唯一决定分布函数 从唯一性定理(《概率论基础》,p229)知,分布函数由特征函数唯一决定.如果 特征函数的定义域为一有限区间,则唯一性定理不成立 例令 pe(t) 1-团,当团≤ 当团 因为e()在R1上可积,故对应的分布密度为 f(a cos . T 另外,考虑一离散型分布f(k) P(n=(2k-1)丌)= k=0,±1,30 ξ†ξ 2؃' 1 4VÇŠ±1§±2. duEξ = 0§…E(ξ 3 ) = 0. ¤±cov(ξ, ξ2 ) = 0§ =ξ†ξ 2؃'. ´ξ†ξ 2ƒmkXš‚5'X. Œ„§ƒ'Xê¿Ø´ƒ5„Ýþ§==Ñü‡‘ÅCþm‚5ƒ 5. 31 Ý3‡7‡Ø¿©^‡ ‘ÅCþX©Ù¼êF. ´eEX3§Kklimx→∞ x(1 − F(x)) = 0. XJlimx→∞ x(1 − F(x)) = 03§Ø½UêÆÏ"EX3. ~ b½©Ù¼ê F(x) = ( 0, x ≤ 1 1 − 1/(kx), ek−1 < x ≤ e k , k = 1, 2, ... †Œlimx→∞ x(1−F(x)) = 0§ R ∞ 0 (1−F(x))dx = ∞§EX = R ∞ 0 (1−F(x))dxØ 3. 32 3k«mSA¼êŠØv±û½©Ù¼ê l5½n£5VÇØÄ:6§p229¤§©Ù¼êdA¼êû½. XJ A¼ê½Âk«m§K5½nؤá. ~ - ϕξ(t) = ( 1 − |t|, |t| ≤ 1, 0, |t| > 1. Ϗϕξ(t)3R1þŒÈ§éA©Ùݏ fξ(x) = 1 − cos x πx2 . , §ÄlÑ.©Ùfη(k): P(η = 0) = 1 2 , P(η = (2k − 1)π) = 2 (2k − 1)2π 2 , k = 0, ±1, ... 15