两向量的叉乘可写为：a×b=a,e,×b,e,=a,b,eek。 行列式可表示为det(a)=6a,424k(亿，j,k=1,2,3) >E秋和，之间的关系有如下关系： Epijpks=dkds-dδ (2.11) 证明：双叉乘公式a×(b×c)=(ac)b-(ab)c,a=a,e,b=bek,c=C,e, 右边=a,c6be-a,bdc,e,=(a,bc,d⊙-a,bc,δdg)e, 左边=a,e,×(b4ek×C,e,)=a,e,×(bC,6ke)=a,bC,EEe,=-a,bC,EpksEpyiej 因此a,b,c,[Ep5k-(⊙⊙-d8e,=0，由a,b,c的任意性，推出括号内为零。 2.2张量简介 应变张量T有六个分量，在坐标变换下有：下'=CTCT。 一般地说，把在坐标变换下满足A'=CACT变换规律的量称为张量。 向量a可以写为：a=ae1+ae2+ae3。 类似地，二阶张量A可以表示为：A=A,e,e,e,e,称为并矢基(9个)，在坐标系{e}下其 分量为： Ay=Cucjs Aks (2.12) 类似地，可以定义高阶张量，B=Be,e,ee 矢量可以看作是一阶张量，二阶张量对应于矩阵，在本课程中，大多数情况下遇到的都是二 阶张量。 张量的运算 A=Aee B=B eej A±B=(A,±B,)e,e, (2.13) AT=Aeej 如果AT=A,A称为对称张量，如果AT=-A,A称为反对称张量， -03 02 03 0 -0 (2.14) -02 0 0 A可以表示为： 3两向量的叉乘可写为： i i j j i j ijk k a b= × ×= a b ab ee e ε 。 行列式可表示为 12 3 det( ) ( , , 1, 2,3) ij ijk i j k a aa a i jk = = ε ¾ ijk ε 和 ij δ 之间的关系有如下关系： pij pks ik js is jk ε ε δδ δδ = − (2.11) 证明：双叉乘公式a b c) a c b a b c × ( ()( ×=⋅ −⋅ ) , , ii kk ss , ab c = ab c eee = = . 右边= ( ) i s is k k i k ik s s i k s is kj i k s ik sj j ac b ab c ab c ab c δ e e −= − δ δ δ δ δ e 左边= ( )( ) i i k k s s i i k s ksl l i k s ksl ilj j i k s pks pij j ae b e ce ae b c e ab c e ab c e × × = × = =− ε εε ε ε 因此 [ ( )] i k s pij pks ik js is jk j ab c ε ε δδ δδ − − = e 0 ，由 的任意性，推出括号内为零。 abc , , 2.2 张量简介 应变张量Γ 有六个分量，在坐标变换下有： T Γ′ = C CΓ 。 一般地说，把在坐标变换下满足 A CAC ′ = T 变换规律的量称为张量。 向量 可以写为： a 11 2 2 3 3 a = aa a e e + + e 。 类似地，二阶张量 可以表示为： A A = Aij i j e e ， 称为并矢基(9 个)，在坐标系{ 下其 分量为： i j e e e′} Aij ik js ks ′ = cc A . (2.12) 类似地，可以定义高阶张量，B = Bijkl i j k l ee e e 。 矢量可以看作是一阶张量，二阶张量对应于矩阵，在本课程中，大多数情况下遇到的都是二 阶张量。 张量的运算 T , ( ) ij i j ij i j ij ij i j ji i j A B A B A = = ±= ± = A B A B A ee ee e e e e (2.13) 如果 ， 称为对称张量，如果 T A A= A T A A = − ， 称为反对称张量， A 3 2 3 2 1 0 0 0 1 ω ω ω ω ω ω ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − A − ⎟ (2.14) A 可以表示为： 3