例5.4.2求f(x)=sinx和f(x)=cosx在x=0处的 Taylor公式 解先考虑f(x)=sinx 由于对k=0,1,2…,有 fc(x)=sinx k 于是 k=2n, (-1),k=2n+1, 因此sinx在x=0处的 Taylor公式为 SInx=x 3!5! +(-1) (2n+1)! 相应的余项为 2n+3 或 2n+3 sin| 0x+ (2n+3)! 6∈(0例 5.4.2 求 f (x) = sin x 和 f (x) = cos x 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 先考虑 f (x) = sin x 。 由于对k = 0, 1, 2, ，有 ( ) ( ) sin π 2 k k f x x   = +     ， 于是    − = + = = ( 1) , 2 1, 0, 2 , (0) ( ) k n k n f n k 因此sin x在 x = 0处的 Taylor 公式为 (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 3 5 2 1 + = − + − + − + n x x x x x n  n + + r x 2n 2 ( ) ， 相应的余项为 ( ) ( ) 2 2 2 2 + + = n n r x o x ，或 2 3 2 2 2 3 ( ) sin π , (0,1) (2 3)! 2 n n x n r x x n   + +   + = +    +  