§1.9柱坐标系下的微分算子 10 1 afe af (Tf)+ 1 afz afe afr af 1 af V×f=( 13+19+2 §1.10柱坐标下常用微分 0 §1.11球坐标系下的微分算子 ab 1 al s1 a 10 (2fr)+rsin 0 a0 sin e fe)+ in 0 do V×f afe 1r 1 afr a (r fo) 1.0 f 4-()+ 0 00 r2 sin d02 §1.12球坐标下常用微分 0§ 1.9 柱坐标系下的微分算子 ∇ψ = ∂ψ ∂r er + 1 r ∂ψ ∂θ eθ + ∂ψ ∂z ez ∇ · f = 1 r ∂ ∂r (rfr) + 1 r ∂fθ ∂θ + ∂fz ∂z ∇ × f = (1 r ∂fz ∂θ − ∂fθ ∂z ) er + (∂fr ∂z − ∂fz ∂r ) eθ + [1 r ∂ ∂r (rfθ) − 1 r ∂fr ∂θ ] ez ∇2ψ = 1 r ∂ ∂r (r ∂ψ ∂r ) + 1 r 2 ∂ 2ψ ∂θ2 + ∂ 2ψ ∂z2 § 1.10 柱坐标下常用微分 ∇r = er , ∇z = ez ∇ · er = 1 r , ∇ × er = 0 ∇ · eθ = 0 , ∇ × eθ = 1 r ez ∇ · ez = 0 , ∇ × ez = 0 § 1.11 球坐标系下的微分算子 ∇ψ = ∂ψ ∂r er + 1 r ∂ψ ∂θ eθ + 1 r sin θ ∂ψ ∂φ eφ ∇ · f = 1 r 2 ∂ ∂r (r 2 fr) + 1 r sin θ ∂ ∂θ (sin θ fθ) + 1 r sin θ ∂fφ ∂φ ∇ × f = 1 r sin θ [ ∂ ∂θ (sin θ fφ) − ∂fθ ∂φ ] er + 1 r [ 1 sin θ ∂fr ∂φ − ∂ ∂r (r fφ)] eθ + 1 r [ ∂ ∂r (rfθ) − ∂fr ∂θ ] eφ ∇2ψ = 1 r 2 ∂ ∂r (r 2 ∂ψ ∂r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ (sin θ ∂ψ ∂θ ) + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2ψ ∂φ2 § 1.12 球坐标下常用微分 ∇r = er ∇ · er = 2 r , ∇ × er = 0 ∇ · eθ = 1 r tan θ , ∇ × eθ = 1 r eφ ∇ · eφ = 0 , ∇ × eφ = 1 r tan θ er − 1 r eθ 6