§1.7复合函数的微分算子 Vf(u)=va df(u) V·Aa)=Vn.a4(a) V×A(u)=Vu a:V)A()=(aV4(u) 【结论】 V=V §1.8一些常用微分 v·()=Vr.2 ()=(Vrer)(=) 上述推导的错误在于 T≠A(r) 【常用微分】 T=已 vxr=O xer= V×( 0 例四 试用上式证明 【证明】 V·( r=36()+()·Vr 6(7)+§ 1.7 复合函数的微分算子 ∇f(u) = ∇u df(u) du ∇ · A(u) = ∇u · dA(u) du ∇ × A(u) = ∇u × dA(u) du (a · ∇)A(u) = (a · ∇)u dA(u) du 【结论】 ∇ = ∇u d du § 1.8 一些常用微分 ∇ · ( r r 3 ) = ∇r · d dr ( r r 3 ) = ∇r · d dr ( rer r 3 ) = (∇r · er) d dr ( 1 r 2 ) = − 2 r 3 上述推导的错误在于： r6=A(r) 【常用微分】 ∇r = er , ∇ 1 r = − er r 2 ∇ · r = 3 , ∇ · er = 2 r , ∇ · ( r r 3 ) = 4πδ(r) ∇ × r = 0 , ∇ × er = 0 , ∇ × ( r r 3 ) = 0 例四 试用上式证明 ∇ · ( r r n ) = 3 − n r n + 4π r n−3 δ(r) 【证明】 ∇ · ( r r n ) = ∇ · ( r r 3 · 1 r n−3 ) = ∇ · ( r r 3 ) · 1 r n−3 + ( r r 3 ) · ∇ 1 r n−3 = 4π r n−3 δ(r) + ( r r 3 ) · [∇r · 3 − n r n−2 ] = 4π r n−3 δ(r) + 3 − n r n 5