A 上式左端=4(Aa1)+12(Aa2) -/1 a1415 a (5-1) 右端=1a1+M2a (5-2) 比较式(5-1),式(5-2) a1+a2=M21+2a2 (-1)a+(号 λ2)2=0 (5-3) 因为a1,a2是不同特征值的特征向量,故1,2线性无关,欲使(5-3)式成立,必有 (5-4) 由式(5-4)可得4=2=1,与≠矛盾,故有a1+2a2不是A的特征向量 例8求矩阵A的特征值与特征向量 A= 0035 000 0+1 JE-A= 002-3-5 (-1)(2+1)(4-3)2 特征值为1=2=-14=3(二重根) 将4=1代入[E-4X=0,得 2x2-x3-3x4=0 其基础解系为a1=(1,0.0.0),A对应于的全部特征向量为ka1,(k1≠0)A( 1 1 ＋ 2  2 ) = ( 1 1 ＋ 2  2 ) 上式左端 = 1 (A 1 )＋ 2 (A  2 )= 2 1 1 ＋ 2 2  2 （5-1） 右端 = 1 1 ＋ 2  2 （5-2） 比较式（5-1）, 式（5-2） 2 1 1 ＋ 2 2  2 = 1 1 ＋ 2  2 ( 2 1 − 1 ) 1 ＋( 2 2 − 2 )  2 = 0 （5-3） 因为 1 2  , 是不同特征值的特征向量, 故 1 2  , 线性无关, 欲使（5-3）式成立, 必有 2 1 − 1 = 2 2 − 2 = 0 （5-4） 由式（5-4）可得 1 = 2 =  , 与 1  2 矛盾, 故 1 1 ＋ 2  2 不是 A 的特征向量. 例 8 求矩阵 A 的特征值与特征向量               − = 0 0 0 3 0 0 3 5 0 1 1 3 1 3 1 2 A 解 0 0 0 3 0 0 3 5 0 1 1 3 1 3 1 2 | | − − − + − − − − − − − =     E A 2 = ( −1)( + 1)( − 3) 特征值为 1, 1, 3 1 = 2 = − 3 = （二重根）. 将 1 1 = 代入 [E − A]X = 0 , 得        − = − − = − − = − − − = 2 0 2 5 0 2 3 0 3 2 0 4 3 4 2 3 4 2 3 4 x x x x x x x x x 其基础解系为 T (1, 0, 0, 0) 1 = , A 对应于 1 的全部特征向量为 , ( 0) k11 k1 