设U为R"上的区域,记x=(x1,x2…,xn),C(U)为U上具有连续偏 导数的函数全体。将{dx,dx2…,dxn}看作一组基,其线性组合 a1(x)ldx1+a2(x)dx2+…+an(x)dx,a、(x)∈C(U)(i=1,2…,n) 称为一次微分形式,简称1-形式。1-形式的全体记为A。 对于任意o,n∈A: Q=a1(x)dx1+a2(x)dx2+…+an(x)dxn, n=b,()dx,+b2(xdx 2+.+6,(x)dx 我们定义O+n和Ao(L∈C(U)为 O+7=(a1(x)+b(x)dx1+(a2(x)+b2(x)dx2+…+(an(x)+bn(x)dxn 1=((x)a1(x)dx1+(1(x)a2(x)dx2+…+((x)an(x)dxn 这显然满足交换律、结合律以及对C(U)的乘法分配律。若定义A中 的“零元”为 0=0dx1+0dx2+…+0dxn, 而且定义-为 o=(,()dx,+(a2(x)dx2+.+(a, (x)dx 那么N成为C(U)上的向量空间设U 为 n R 上的区域，记 ),,,( 21 n x = " xxx ， 1 C ( ) U 为U 上具有连续偏 导数的函数全体。将{ n d,,d,d xxx 21 " }看作一组基，其线性组合 n n d)(d)( d)( xaxaxa1 21 2 x + x +"+ x ， ai x)( ∈ 1 C ( ) U （ = ",,2,1 ni ） 称为一次微分形式，简称 1-形式。1-形式的全体记为Λ1。 对于任意ω η, ∈Λ1： d)(d)( ,d)( d)(d)( ,)d( 211 2 211 2 n n n n xxbxxbxxb xxaxxaxxa += ++ = + + + " " η ω 我们定义ω + η 和λω （ 1 λ∈C ( ) U ）为 n n。 n n n xxaxxxax xxax xxbxaxxbxaxxbxa d))()((d))()((d))()(( ,d))()((d))()((d))()(( 1 1 2 2 1 1 21 2 2 λλω λ λ ω η = + ++ =+ + + + + + + " " 这显然满足交换律、结合律以及对 1 C ( ) U 的乘法分配律。若定义Λ1中 的“零元”为 n xx d0d0d00 x = 1 + 2 +"+ ， 而且定义−ω 为 ,d))((d))((d))(( 1 1 2 2 n n −ω = − + − xxaxxa +"+ − xxa 那么Λ1成为 1 C ( ) U 上的向量空间