解答]物体的总能量为 E=Ek+ Ep=0.8(J) (1)根据能量公式 两个频率 E=kA2/2 和振幅都 得振幅为 相同的简 谐振动的 A=√2E/k=0.253(m) x-t曲线如 (2)当动能等于势能时,即Ek=Ep,图所示 图412 由于 求 E= Ek+ Ep (1)两个简谐振动的位相差 (2)两个简谐振动的合成振动的振动 E 方程 kA2=2×-k 解答](1)两个简谐振动的振幅为 A=5(cm) 解得 周期为 √2A/2=±0.179m) T=4(s), 圆频率为 (3)再根据能量公式 =2/T=/2 E=mv 2/2 它们的振动方程分别为 得物体经过平衡位置的速度为 xI=AcoSot= 5cost/2 vn=±√2E/m=±2.3(ms) x2= Asina= 5sint/2= 5cos(T/2-Tt/2) 位相差为 41两个质点平行于同一直线并排作 4=02-91=-/2 同频率、同振幅的简谐振动.在振动过程中 (2)由于 每当它们经过振幅一半的地方时相遇,而运 x=x1+x2=5c0s/2+5inm/2 动方向相反.求它们的位相差,并作旋转矢 5(cost/2 cosT/4+ 5sintt/2 sin/4 )/sinT/4 量图表示 合振动方程为 解答]设它们的振动方程为 √2cos(x 当x=A/2时,可得位相为 ot+p=±/3. 4.13已知两个同方向简谐振动如下 由于它们在相遇时反相,可取 中1=(ot+p)=-/3, x1=005c0(10t+丌), 中2=(ot+g)=/3 x2=006c010+1 它们的相差为 △=d2-中1=2/3, (1)求它们的合成振动的振幅和初位 或者 相 (2)另有一同方向简谐振动x 2丌-△中=47/3. 0.07cos(101+g),问为何值时,x1+x3的振 矢量图一 幅为最大?φ为何值时,x2+x3的振幅为最 如图所示 小 (3)用旋转矢量图示法表示(1)和(2) 两种情况下的结果.x以米计,t以秒计[解答]物体的总能量为 E = Ek + Ep = 0.8(J)． （1）根据能量公式 E = kA2 /2， 得振幅为 A E k = 2 / = 0.253(m)． （2）当动能等于势能时，即 Ek = Ep， 由于 E = Ek + Ep， 可得 E = 2Ep， 即 1 1 2 2 2 2 2 kA kx =  ， 解得 x A =  2 / 2 = ±0.179(m)． （3）再根据能量公式 E = mvm 2 /2， 得物体经过平衡位置的速度为 2 / m v E m =  = ±2.53(m·s-1 )． 4.11 两个质点平行于同一直线并排作 同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中， 每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运 动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢 量图表示． [解答]设它们的振动方程为 x = Acos(ωt + φ)， 当 x = A/2 时，可得位相为 ωt + φ = ±π/3． 由于它们在相遇时反相，可取 Φ1 = (ωt + φ)1 = -π/3， Φ2 = (ωt + φ)2 = π/3， 它们的相差为 ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3， 或者 ΔΦ` = 2π –ΔΦ = 4π/3． 矢量图 如图所示． 4 ． 12 两个频率 和振幅都 相同的简 谐振动的 x-t 曲线如 图所示， 求： （1）两个简谐振动的位相差； （2）两个简谐振动的合成振动的振动 方程． [解答]（1）两个简谐振动的振幅为 A = 5(cm)， 周期为 T = 4(s)， 圆频率为 ω =2π/T = π/2， 它们的振动方程分别为 x1 = Acosωt = 5cosπt/2， x2 = Asinωt = 5sinπt/2 = 5cos(π/2 - πt/2) 即 x2 = 5cos(πt/2 - π/2)． 位相差为 Δφ = φ2 - φ1 = -π/2． （2）由于 x = x1 + x2 = 5cosπt/2 + 5sinπt/2 = 5(cosπt/2·cosπ/4 + 5sinπt/2·sinπ/4)/sinπ/4 合振动方程为 5 2 cos( ) 2 4 x t   = − (cm)． 4．13 已知两个同方向简谐振动如下： 1 3 0.05cos(10 ) 5 x t = +  ， 2 1 0.06cos(10 ) 5 x t = +  ． （1）求它们的合成振动的振幅和初位 相； （2）另有一同方向简谐振动 x3 = 0.07cos(10t +φ)，问 φ 为何值时，x1 + x3 的振 幅为最大？φ 为何值时，x2 + x3 的振幅为最 小？ （3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2） 两种情况下的结果．x 以米计，t 以秒计． O x A t/s x/cm 5 0 1 2 3 4 -5 x1 x2 图 4.12