证明:用a,a2…,an表示矩阵A的行向量。由于其秩为r, 故它的极大线性无关组是由个向量组成。不妨设a1,…是它的 个极大无关组(否则可以调换向量的位置使之位于前r行,这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解)。由于 向量组ax1…aαr2a-12…,∝n与1…,是等价的,故原方程组与 以下方程组 1x1+a2x2+…+anxn=0 n21x1 +…+aL,x,=0 (34.2) an1x1+a,2x2+…+anx,=0 是同解的。由于方程组(3.4.2)中方程的个数小于未知量的 个数,故(342)从而(341)有非零解。 定理3.4.1矩阵的行秩与列秩相等 第三章线性方程组第三章 线性方程组 证明：用 1 2 , , ,    m 表示矩阵A的行向量。由于其秩为r， 故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设 1 , ,  r 一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这 相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于 向量组 1 1 , , , , ,     r r m + 与 是等价的，故原方程组与 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = （3.4.2） 是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的 个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。 是它的 1 , ,  r 以下方程组 定理3.4.1 矩阵的行秩与列秩相等