《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 adr=du+r-)=-一 du dn咖=对岂品 d"(u±)=d"u±dv d(m)=∑Ctd"-tudv k-=0 份 df(u)=f"(u)du d2f(0）=f"(u)d2+f"(u)d2u 注(1)2=(d)2；d2x是x的二阶微分(dx=0):dx2)是x2的微分（一阶）(=2xdx) (2)2=f)是n阶导数记法的来由： dx" (3)一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分已不具备此性质，以二阶微分为例.若 y=f(x),则(i)当x为自变量时，dy=f"(x)2；(iⅱ）当x为因变量，如x=) 时，d产y=f"(x)d2+f"x)dx 例3记y=fx)=sinx,x=p)=,分别用公式(6)和公式(7)求dy. 四、微分在近似计算中的应用 (一)函数的近似计算 前己描述，如果y=f(x)在x。点可微，则函数的增量△y=∫"(x)△r+o(△x)=dy+o(△x),当△x 很小时，有Ay≈f(x)△r和△y=fx+A)-fx)得到fx+A)≈fx)+∫(x)△r,亦即，当 x≈x,时有f(x)≈f(x)+"(xx-x)(用导数作近似计算公式). 注(1)要求f(x)在x点的数值，但往往出现以下情况：直接计算f(x)比较困难，而在x点 附近一点处的函数值∫(x)的导数∫"(x)却都比较容易求得，于是可以利用 f(x)+∫"(xx-x)作为f(x)的近似值，x与x,越接近越精确. 例1求加x的近似值， 例2计算V3.99的近似值. (2)把fx)≈f(x)+∫"(x(x-x)(x≈x)用于具体函数，可以得到一些常用的近似公 5 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 5 1 ln( 1) 2 2 − = + − = − u du d Archu d u u 2 1 ) 1 1 ln 2 1 ( u du u u d Arthu d − = − + = d u v d u d v n n n (  ) =  d uv C d u d v n k k k k n n =  −  =  0 ( ) 2 v vdu udv v u d −  =      d f (u) = f (u)du d f u f u du f u d u 2 2 2 ( ) = ( ) + ( ) 注（1） 2 2 dx dx = ( ) ； 2 d x 是 x 的二阶微分（ 2 d x =0）； 2 d x( ) 是 2 x 的微分（一阶）（＝2xdx）； （2） ( ) n n n d y f x dx = 是 n 阶导数记法的来由； （3）一阶微分具有形式不变性,对于高阶微分已不具备此性质,以二阶微分为例.若 y=f(x), 则 （ⅰ ） 当 x 为自 变量 时 , 2 2 d y f x dx = ( ) ；（ⅱ ） 当 x 为因 变量 , 如 x t = ( ) 时, 2 2 2 d y f x dx f x d x = +   ( ) ( ) 例 3 记 y f x x = = ( ) sin , 2 x t t = = ( ) ,分别用公式（6）和公式（7）求 2 d y . 四、微分在近似计算中的应用 (一) 函数的近似计算 前已描述,如果 y=f(x)在 0 x 点可微,则函数的增量 0  =  +  = +  y f x x o x dy o x ( ) ( ) ( ) ,当 x 很小时,有 0    y f x x ( ) 和 0 0  = +  − y f x x f x ( ) ( ) 得到 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) +   +   ,亦即,当 0 x x  时有 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )  + −  （用导数作近似计算公式）. 注（1）要求 f(x)在 x 点的数值,但往往出现以下情况：直接计算 f(x)比较困难,而在 x 点 附 近 一 点 0 x 处 的 函 数 值 0 f x( ) 的 导 数 0 f x ( ) 却 都 比 较 容 易 求 得 , 于 是 可 以 利 用 0 0 0 f x f x x x ( ) ( )( ) + −  作为 f(x)的近似值,x 与 0 x 越接近越精确. 例 1 求 11 sin 60  的近似值. 例 2 计算 3.99 的近似值. （2）把 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )  + −  （ 0 x x  ）用于具体函数,可以得到一些常用的近似公