·878· 北京科技大学学报 第33卷 之间存在螺旋角B,所以斜齿轮的法面齿形不是标 刀其加十节线 准的渐开线齿形，精确计算法面齿形是比较复杂的. 取一非对称渐开线圆柱齿轮的轮齿，建立三维 直角坐标系，其具体形式见图5.曲线EF为齿轮分 度圆表面的螺旋线，K点为螺旋线上的一点，过K点 Y=1-OM 作曲线EF的法向平面ABCD,该平面即为轮齿的法 齿轮加工节圆 向截面. 图4齿根过波曲线加工示意图 分度圆表 Fig.4 Cutting process of the driving side fillet 面螺旋线 M] 「sinid -cos(au-9d）1r 螺旋线切点K -sin(au)a/sinaw+r (10) 式中，pa=(a/tancMd+ba）/r,aa≤au≤90°. 同理可得，轮齿从动侧齿根过渡曲线上任意点 N的参数方程为 法向截面 XN] cos(ae-pe） 1 cosie sin a Ne Pte 图5轮齿法向截面 (11) Fig.5 Normal section of the gear tooth 式中，pe=（a/tand Ne+be）/r,a.≤&e≤90°. 2.3轮齿轴向螺旋曲面方程的建立 螺旋曲线EF的方程为 非对称渐开线斜齿轮的端面齿形部分，将绕着 COST 圆柱回转中心轴线作螺旋运动，齿廓主动侧、从动侧 Y= 的渐开线曲线、过渡曲线部分将形成螺旋曲面.以 LT/tanB. 齿廓主动侧渐开线为例，经推导可知，其螺旋曲面方 其上任意一点的切向量为 程为 sinT cose -sinA COST cos0 0 siny L1/tanB. 0 0 0 0 设K点参数T值为TK,则过K点的法平面的方程为 m,2 cos@sin(tand M-aMa）/(2 COS&M） sin =0 (13) m,zcosacos (tana a-aMa)/(2cosa Ma 轮齿法向截面的齿形，其实质就是其端面齿形 m,z/(2tanB) 形成的螺旋线曲面与过K点的法平面这两个平面 (12) 的交线。以轮齿齿廓主动侧渐开线为例，进行说明. 式中，a0为参变数.0为齿廓由起始位置绕z轴 轮齿主动侧渐开线螺旋曲面的方程见式(12)， 转过的角度，顺时针转动方向为正.当a为常数 其法向平面的方程见式(13)，将两个方程组联立. 时，表示曲面上不同的螺旋线，这些螺旋线的导程相 其中未知参数X、Y、Z和0，通过联立方程组求解四 同，但是螺旋角不同：当0为常数时，则表示不同位 个未知数，可得X、Y和Z坐标，则可得主动侧渐开 置的齿廓曲线，所以螺旋曲面又可以看成是沿一条 线曲线在螺旋线法向平面的曲线方程. 螺旋线排列的一族齿廓曲线形成的曲面. 2.5轮齿轴向螺旋曲面轴向截面方程 同理，可以求得齿廓主动侧齿根过渡曲线，从动 作一截面，该截面通过非对称渐开线圆柱齿轮 侧渐开线、齿根过渡曲线的螺旋曲面方程. 的回转轴线，与轮齿的渐开线螺旋曲面相交，得到轮 2.4轮齿法向截面齿廓方程的建立 齿的轴向截面齿形.轮齿主动侧渐开线螺旋曲面方 根据斜齿轮齿面的形成原理可知，轮齿端面的 程见式(12)，在XOZ平面截取轮齿的渐开线螺旋曲 齿形为标准渐开线齿形，由于轮齿端面与回转轴线 面，则yM=0,可得cos(invaM-ya-0)=0,则北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 图 4 齿根过渡曲线加工示意图 Fig． 4 Cutting process of the driving side fillet xM y[ ] M = sinφtd － cos( αMd － φtd ) cosφtd － sin( αMd － φtd [ ] ) r [ ] a /sinαMd + rρ ( 10) 式中，φtd = ( a /tanαMd + bd ) /r，αd≤αMd≤90°． 同理可得，轮齿从动侧齿根过渡曲线上任意点 N 的参数方程为 xN y[ ] N = － sinφtc cos( αNc － φtc ) cosφtc － sin( αNc － φtc [ ] ) r [ ] a /sinαNc + rρ ( 11) 式中，φtc = ( a /tanαNc + bc ) /r，αc≤αNc≤90°． 2. 3 轮齿轴向螺旋曲面方程的建立 非对称渐开线斜齿轮的端面齿形部分，将绕着 圆柱回转中心轴线作螺旋运动，齿廓主动侧、从动侧 的渐开线曲线、过渡曲线部分将形成螺旋曲面． 以 齿廓主动侧渐开线为例，经推导可知，其螺旋曲面方 程为 xM yM z          M  = cosθ － sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0        θ cosγtd － sinγtd 0 sinγtd cosγtd 0        0 0 1 · mtzcosαtd sin( tanαtMd － αtMd ) /( 2cosαtMd ) mtzcosαtd cos( tanαtMd － αtMd ) /( 2cosαtMd ) mtz/( 2tanβ          )  ( 12) 式中，αtMd、θ 为参变数． θ 为齿廓由起始位置绕 z 轴 转过的角度，顺时针转动方向为正． 当 αtMd为常数 时，表示曲面上不同的螺旋线，这些螺旋线的导程相 同，但是螺旋角不同; 当 θ 为常数时，则表示不同位 置的齿廓曲线，所以螺旋曲面又可以看成是沿一条 螺旋线排列的一族齿廓曲线形成的曲面． 同理，可以求得齿廓主动侧齿根过渡曲线，从动 侧渐开线、齿根过渡曲线的螺旋曲面方程． 2. 4 轮齿法向截面齿廓方程的建立 根据斜齿轮齿面的形成原理可知，轮齿端面的 齿形为标准渐开线齿形，由于轮齿端面与回转轴线 之间存在螺旋角 β，所以斜齿轮的法面齿形不是标 准的渐开线齿形，精确计算法面齿形是比较复杂的． 取一非对称渐开线圆柱齿轮的轮齿，建立三维 直角坐标系，其具体形式见图 5． 曲线 EF 为齿轮分 度圆表面的螺旋线，K 点为螺旋线上的一点，过 K 点 作曲线 EF 的法向平面 ABCD，该平面即为轮齿的法 向截面． 图 5 轮齿法向截面 Fig． 5 Normal section of the gear tooth 螺旋曲线 EF 的方程为 x y        z = r cosτ sinτ τ /tan        β ， 其上任意一点的切向量为 x · y · z        · = r － sinτ cosτ 1 /tan        β ， 设 K 点参数 τ 值为 τK，则过 K 点的法平面的方程为 sinτKx － cosτKy － z tanβ + r tan2 β = 0 ( 13) 轮齿法向截面的齿形，其实质就是其端面齿形 形成的螺旋线曲面与过 K 点的法平面这两个平面 的交线． 以轮齿齿廓主动侧渐开线为例，进行说明． 轮齿主动侧渐开线螺旋曲面的方程见式( 12) ， 其法向平面的方程见式( 13) ，将两个方程组联立． 其中未知参数 X、Y、Z 和 θ，通过联立方程组求解四 个未知数，可得 X、Y 和 Z 坐标，则可得主动侧渐开 线曲线在螺旋线法向平面的曲线方程． 2. 5 轮齿轴向螺旋曲面轴向截面方程 作一截面，该截面通过非对称渐开线圆柱齿轮 的回转轴线，与轮齿的渐开线螺旋曲面相交，得到轮 齿的轴向截面齿形． 轮齿主动侧渐开线螺旋曲面方 程见式( 12) ，在 XOZ 平面截取轮齿的渐开线螺旋曲 面，则 yM = 0，可得 cos( invαM － γd － θ) = 0，则 ·878·