《数学分析》下册教案 第土四章易级数 海南大学数学系 3、若在(1)中令x-x=1,则(1)化为(2)的形式，故研究幂级数， 一般研究在点零 处的展开幂级数即可。 4、幂级数形式上的特点：一般项为a(x-x)”,从而所求的和是多项式（最简单函数） 是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间 一点)。又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 三、幂级数的收敛性 定理幂级数立a,(x-x广在r-<R内绝对收敛，在r-x>R内发散。 推论：幂级数a,(x-》的收敛城为区间<名-R。+R>,幂级数a,(x-)在 <x-Rx+R>的内部(-Rx+R)内绝对收敛。 四、求收敛半径和收敛域的例子 102若 22r a品 例2.证明变+（了在（宁绝对收敛。在其他点发散。 五、幂级数的性质 性质1（阿贝尔第二定理）：若∑0，(：-y的收敛半径为R,则此级数在收敛域内部 (x一R,x+R)上内闭一致绝对收敛：在收敛域<x-R七+R>上内闭一致收敛。 性质2设幂级数∑x-x的收敛半径为R,和函数为()，则和函数在收敛域 <x。-Rx+R>上连续，于收敛域内部(x-R。+)上可以逐项积分和逐项微分，即： 对(-R+R)上任一点x,有 2a-yh-2导-r=0h《数学分析》下册教案 第十四章 幂级数 海南大学数学系 2 3、若在（1）中令 0 x x t − = ，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零 处的展开幂级数即可。 4、幂级数形式上的特点：一般项为 0 ( )n n a x x − ，从而所求的和是多项式（最简单函数）， 是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质。如收敛域一定是区间（退化区间— —点）。又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数。 三、 幂级数的收敛性 定理 幂级数 0 0 ( )n n n a x x  =  − 在 0 x x R −  内绝对收敛，在 0 x x R −  内发散。 推论：幂级数 0 0 ( )n n n a x x  =  − 的收敛域为区间 0 0  − +  x R x R , ，幂级数 0 0 ( )n n n a x x  =  − 在 0 0  − +  x R x R , 的内部 0 0 ( , ) x R x R − + 内绝对收敛。 四、 求收敛半径和收敛域的例子 例 1、（1） 1 n n x n  =  ； （2） 1 n n n n x  =  ； （3） 0 ! n n x n  =  例 2、证明 0 (3 ( 1) ) n n n n x  =  + − 在 1 1 ( , ) 4 4 − 绝对收敛，在其他点发散。 五、 幂级数的性质 性质 1（阿贝尔第二定理）：若 0 0 ( )n n n a x x  =  − 的收敛半径为 R ，则此级数在收敛域内部 0 0 ( , ) x R x R − + 上内闭一致绝对收敛；在收敛域 0 0  − +  x R x R , 上内闭一致收敛。 性质 2 设幂级数 0 0 ( )n n n a x x  =  − 的收敛半径为 R ，和函数为 s x( ) ，则和函数在收敛域 0 0  − +  x R x R , 上连续，于收敛域内部 0 0 ( , ) x R x R − + 上可以逐项积分和逐项微分，即： 对 0 0 ( , ) x R x R − + 上任一点 x ，有 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 x x n n n n x x n n a a t t dt x x s t dt n   = = − = − = +    