三章习题解答 3.1真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷9和一9，试计算球赤道平 面上电通密度的通量中（如题3.1图所示）。 解由点电荷q和-9共同产生的电通密度为 赤道平面 ger+e.(z-a)er+e.(z+a) 4nr2+e-a2+e+a'0} 则球赤道平面上电通密度的通量 Φ=DdS=De.ds= 题31图 arde 90 a (2+a2)20 万19=-0293g 3.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为。的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电 荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze(Z是原子序数，e是质子电荷量)，通过实验得 Ze 1 r 到体内的电通量密度表达式为,=,行一试证明之。 解位于球心的正电荷Z球体内产生的电通量密度为D,=心，4 Ze 3Ze 原子内电子云的电荷体密度为 P--4x3Ax 电子运在积子内产生的电道里密度测为D=e矿4 Ze r 4πr2 故原子内总的电通量密度为D=D,+D,=e,4坛。 Ze 1 r 题3.3图(a) 3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为P,C/m3,两圆柱 面半径分别为a和b,轴线相距为c(c<b-a),如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场 解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的 小圆柱面内看作同时具有体密度分别为±P的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具 有体密度为P,的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-P的均匀电荷 分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在r>b区城中，由高斯定律E,dS=9,可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生三章习题解答 3.1 真空中半径为 a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q 和− q ，试计算球赤道平 面上电通密度的通量  (如题 3.1 图所示)。 解 由点电荷 q 和− q 共同产生的电通密度为 3 3 [ ] 4 q  R R + − + − = − = R R D 2 2 3 2 2 2 3 2 ( ) ( ) { } 4 [ ( ) ] [ ( ) ] r z r z q r z a r z a  r z a r z a + − + + − + − + + e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量 0 d d z z S S  S = = = =   D S D e 2 2 3 2 2 2 3 2 0 ( ) [ ]2 d 4 ( ) ( ) a q a a r r r a r a   − − = + +  2 2 1 2 0 1 ( 1) 0.293 ( ) 2 a qa q q r a = − = − + 3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电 荷量为 − Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量），通过实验得 到球体内的电通量密度表达式为 0 2 3 1 4 r a Ze r  r r   = −     D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷 Ze 球体内产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze  r D e = 原子内电子云的电荷体密度为 3 3 3 4 3 4 a a Ze Ze r r    = − = − 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3 2 2 3 4 3 4 4 r r a r Ze r r r     D e e = = − 故原子内总的电通量密度为 1 2 2 3 1 4 r a Ze r  r r   = + = −     D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 3 0 C m , 两圆柱 面半径分别为 a 和 b ，轴线相距为 c (c  b − a) ，如题 3.3 图 ( ) a 所示。求空间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 a 的 小圆柱面内看作同时具有体密度分别为 0 的两种电荷分布，这样在半径为 b 的整个圆柱体内具 有体密度为 0 的均匀电荷分布，而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为−0 的均匀电荷 分布，如题 3.3 图 ( ) b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在 r  b 区域中，由高斯定律 0 d S q  =  E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生 q −q a 赤道平面 题 3.1 图 题 3. 3 图 ( ) a a b c 0