第6期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1069· 将粗糙集和模糊集进行融合。20世纪90年代， Liu等2为决策理论粗糙集中的阈值参数优化建 Dubois等1-将粗糙集和模糊集结合在一起，提出 立了理论和系统的框架，并且提出了一种基于优 了描述不确定性的模糊粗糙集模型。在概率近似 化的通用方法来确定具有各种语义的决策理论粗 空间上，Sun等1提出了粗糙近似模糊概念。 糙集的阈值对。 Yao等基于贝叶斯决策近似概念的含义提出了 在模糊决策粗糙集模型中，大多数研究是以 模糊粗糙集。Zhao等)在模糊概率近似空间和 总体决策代价最小化为目标，得出计算最优阈值 区间值模糊概率近似空间的框架下研究了决策粗 对（α，）的方法，其中决策代价是专家给出的，并 糙集。 没有进行进一步的研究。而衷锦仪等)基于区 基于决策粗糙集，Yao提出了三支决策。通 间值模糊决策粗糙集模型，得出了计算决策代价 过推广贝叶斯决策理论得到了三支决策粗糙集， 的方法。本文采用了属性值来描述决策代价，用 其考虑的是粗糙集三个成对互不相交的区域，即 对象间的曼哈顿距离表示决策代价函数，得出最 正域、负域和边界域。之后，Liang等提出了一 优阈值对(a,B)。 系列新的三支决策模型，比如区间值粗糙集三支 决策、双重犹豫模糊粗糙集三支决策，基于点算 1决策粗糙集模型 子的直觉模糊粗糙集的三支决策1等。最近， 本节介绍了多重集的相关概念和基于模糊数 Feng等o基于多粒度模糊近似空间和隶属度算 的决策粗糙集模型，该模型用区间值来刻画损失 子，将三支决策和变精度粗糙集结合在一起，提 代价得到更为紧凑的阈值对（α，β）的上、下近似。 出了1型变精度多粒度决策模糊粗糙集模型。随 1.1多重集 着研究的深入，Deng等川推广了三支近似模糊集 定义118设一个非空论域U,在U上的一 决策模型，提出可变的决策理论公式，通过最小 个多重集M上定义函数CM:U→N,其中N是自 化决策代价计算阈值对（α，B)。杨雯琳等]建立 然数集，CM(x)是x的重数，Hx∈U。 了基于相似度的三支决策模糊粗糙集最优模型来 函数CM称为有限函数，表示每个元素出现 计算阈值对(@，B)。衷锦仪等]基于区间值决策 的次数。μ(U)表示U上的所有多重集族。如果 粗糙集模型，从模糊数学的角度得出了更为紧凑 Yx∈U,CM(x)=0,则M是一个空的多重集，记为 的阈值对(a,B的上、下近似。对于多重集值，Zhao O。多重集有多种表示方式，M=(x,x,x,y,y,),M= 等提出了多重集决策粗糙集模型和多重集模 糊决策粗糙集模型来计算损失函数的期望代价。 Cw(eU.Cw(eN,)M=∑国(U是 Liang等l1将精确值的损失函数概念推广到三角 限集)或M=「C田U是无限集)。 模糊决策粗糙集上来计算决策损失。Lin6基于 约束满意度提出了一种解决模糊线性关系的方 定义2 在(O,1)上，多重集M={(x, 法，该方法被其他学者用于研究阈值对（α，）。 CM(x)x∈[O,1,CM(x)∈NbM的长度定义为：IMp= 目前，三支决策已经得到了广泛的应用，而且 决策粗糙集理论是求解三支分类的经典理论 ,p≥1 之一。因此，三支决策相关的研究成果包括了不 常用的长度有：曼哈顿长度，即IM,=∑Cw()· 同数据模型的决策粗糙集推广，例如：基于代价 敏感度量的概率粗糙集三支决策1、模糊集三 欧几里得长度，即M2 v(x)-x ;无限长度， 支决策1、区间集三支决策201、邻域三支决策2 即IMl。=max{CM(x)·x。 等。不同模型阈值对确定的方法可能是不同的。 1.2基于模糊数的决策粗糙集模型 邢航2提出的基于构造性覆盖算法的三支决策 Yao等基于贝叶斯决策过程，提出决策理 模型可以根据样本的分布特征自动形成三个域， 论粗糙集模型，该模型利用状态集O={A,A}和 相比于基于决策粗糙集的三支决策模型，基于构 动作集a={a,a,a,}来描述决策过程，其中状态集 造性覆盖算法的三支决策模型不必人为决定关键 O={A,A}中的元素分别表示某事件属于A和不 参数，能自动形成三个域，使得如何获得决策粗 属于A,动作集a={a,ah,a,}中的元素分别表示将 糙集理论模型中损失函数、阈值的取值问题得以 对象x划分到正域、边界域和负域。 解决。徐健锋等2)提出了一种基于三支决策代 对象x采取3个行动之一引起的实际代价 价目标函数间逻辑关系的新型阈值计算方法。 R(a.[x]),R(a[x]),R(a,[x)分别为将粗糙集和模糊集进行融合。20 世纪 90 年代， Dubois 等 [1-2] 将粗糙集和模糊集结合在一起，提出 了描述不确定性的模糊粗糙集模型。在概率近似 空间上， Sun 等 [ 3 ] 提出了粗糙近似模糊概念。 Yao 等 [4] 基于贝叶斯决策近似概念的含义提出了 模糊粗糙集。Zhao 等 [5] 在模糊概率近似空间和 区间值模糊概率近似空间的框架下研究了决策粗 糙集。 (α, β) (α, β) (α, β) (α, β) 基于决策粗糙集，Yao[6] 提出了三支决策。通 过推广贝叶斯决策理论得到了三支决策粗糙集， 其考虑的是粗糙集三个成对互不相交的区域，即 正域、负域和边界域。之后，Liang 等 [7] 提出了一 系列新的三支决策模型，比如区间值粗糙集三支 决策、双重犹豫模糊粗糙集三支决策[8] ，基于点算 子的直觉模糊粗糙集的三支决策[ 9 ] 等。最近， Feng 等 [10] 基于多粒度模糊近似空间和隶属度算 子，将三支决策和变精度粗糙集结合在一起，提 出了 1 型变精度多粒度决策模糊粗糙集模型。随 着研究的深入，Deng 等 [11] 推广了三支近似模糊集 决策模型，提出可变的决策理论公式，通过最小 化决策代价计算阈值对 。杨雯琳等[12] 建立 了基于相似度的三支决策模糊粗糙集最优模型来 计算阈值对 。衷锦仪等[13] 基于区间值决策 粗糙集模型，从模糊数学的角度得出了更为紧凑 的阈值对 的上、下近似。对于多重集值，Zhao 等 [14] 提出了多重集决策粗糙集模型和多重集模 糊决策粗糙集模型来计算损失函数的期望代价。 Liang 等 [15] 将精确值的损失函数概念推广到三角 模糊决策粗糙集上来计算决策损失。Lin[16] 基于 约束满意度提出了一种解决模糊线性关系的方 法，该方法被其他学者用于研究阈值对 。 目前，三支决策已经得到了广泛的应用,而且 决策粗糙集理论[17] 是求解三支分类的经典理论 之一。因此，三支决策相关的研究成果包括了不 同数据模型的决策粗糙集推广，例如：基于代价 敏感度量的概率粗糙集三支决策[18-19] 、模糊集三 支决策[8] 、区间集三支决策[20] 、邻域三支决策[21] 等。不同模型阈值对确定的方法可能是不同的。 邢航[22] 提出的基于构造性覆盖算法的三支决策 模型可以根据样本的分布特征自动形成三个域， 相比于基于决策粗糙集的三支决策模型，基于构 造性覆盖算法的三支决策模型不必人为决定关键 参数，能自动形成三个域，使得如何获得决策粗 糙集理论模型中损失函数、阈值的取值问题得以 解决。徐健锋等[23] 提出了一种基于三支决策代 价目标函数间逻辑关系的新型阈值计算方法。 Liu 等 [24] 为决策理论粗糙集中的阈值参数优化建 立了理论和系统的框架，并且提出了一种基于优 化的通用方法来确定具有各种语义的决策理论粗 糙集的阈值对。 (α, β) (α, β) 在模糊决策粗糙集模型中，大多数研究是以 总体决策代价最小化为目标，得出计算最优阈值 对 的方法，其中决策代价是专家给出的，并 没有进行进一步的研究。而衷锦仪等[13] 基于区 间值模糊决策粗糙集模型，得出了计算决策代价 的方法。本文采用了属性值来描述决策代价，用 对象间的曼哈顿距离表示决策代价函数，得出最 优阈值对 。 1 决策粗糙集模型 (α, β) 本节介绍了多重集的相关概念和基于模糊数 的决策粗糙集模型，该模型用区间值来刻画损失 代价得到更为紧凑的阈值对 的上、下近似。 1.1 多重集 U U M CM : U → N N CM (x) x ∀x ∈ U 定义 1 [18] 设一个非空论域 ，在 上的一 个多重集 上定义函数 ，其中 是自 然数集， 是 的重数， 。 CM µ(U) U ∀x ∈ U,CM (x) = 0 M Ø M = (x, x, x, y, y,· · ·) M = {(x,CM (x))|x ∈ U,CM (x) ∈ N } M = ∑ x∈U CM (x) x U M = ∫ x∈U CM (x) x U 函数 称为有限函数，表示每个元素出现 的次数。 表示 上的所有多重集族。如果 ，则 是一个空的多重集，记为 。多重集有多种表示方式， ， ， ( 是 有 限集) 或 ( 是无限集)。 µF ([0,1]) M = {(x, CM (x))|x ∈ [0,1],CM (x) ∈ N } M ∥M∥p =   ∑ x CM (x)· x p   1 p , p ⩾ 1 定义 2 [ 1 4 ] 在 上，多重集 ， 的长度定义为： 。 ∥M∥1 = ∑ x CM (x)· x ∥M∥2 =   ∑ x CM (x)· x 2   1 2 ∥M∥℘ = maxx {CM (x)· x} 常用的长度有：曼哈顿长度，即 ； 欧几里得长度，即 ；无限长度， 即 。 1.2 基于模糊数的决策粗糙集模型 O = { A,A C } a = {ae ,ab,ar} O = { A,A C } A A a = {ae ,ab,ar} x Yao 等 [4] 基于贝叶斯决策过程，提出决策理 论粗糙集模型，该模型利用状态集 和 动作集 来描述决策过程，其中状态集 中的元素分别表示某事件属于 和不 属于 ，动作集 中的元素分别表示将 对象 划分到正域、边界域和负域。 x R(ae |[x]),R(ab |[x]),R(ar |[x]) 对象 采取 3 个行动之一引起的实际代价 分别为 第 6 期 曾婷，等：相似度三支决策模糊粗糙集模型的决策代价研究 ·1069·