.814 北京科技大学学报 第35卷 纹失稳断裂三个阶段.由于裂纹失稳断裂阶段时间因子K来表示.K的大小反映了裂纹尖端附近区 极短，因此在计算疲劳过程的总寿命时，只将疲劳 域内弹性应力场的强弱程度，可以用来判断裂纹尖 裂纹的萌生寿命和扩展寿命相加.本文应用局部应 端是否发生失稳的指标，即当载荷达到某一临界值 力-应变法和疲劳损伤累积理论推导疲劳裂纹的萌 时，构件发生裂纹扩展，同时应力强度因子K也达 生寿命，采用动载荷谱和疲劳裂纹扩展理论推导疲 到某一临界值.对于一般情况下，应力场强度因子 劳裂纹的扩展寿命 K的普遍形式如下： 1理论模型 K=Yovaa. (6) 1.1疲劳裂纹萌生寿命 式中：Y是取决于裂纹长度a和试样宽度W的比 决定工程构件疲劳强度和寿命的是应变集中 值的几何因子：对内部裂纹和贯穿裂纹而言a为裂 处最大局部应变和应力.当利用塑性应变幅△p/2 纹的半长度，对表面裂纹而言a为裂纹深度.在用 的对数与发生破坏的载荷循环次数N:的2倍的对 线弹性断裂力学描述疲劳裂纹的扩展速率时，应用 数作图时，对于金属材料存在直线关系： 应力场强度因子范围△K=Kmax一Kmin,其中 p=42N)f. 2 (1) Kmax =Yomax Vita, (7) 式中，N是疲劳裂纹萌生寿命，©是疲劳延性系 Kmin =YominVia, (8) 数，c是疲劳延性指数.由于在恒应变幅实验中，总 △K=Y△oVa (9) 应变幅△e/2可以写成弹性应变幅△ee/2和塑性应 △g=Omax-0min~ (10) 变幅△ep/2之和，即 △Eg 式中，Kmax和Kmin分别是一个疲劳应力循环过 2 2 (2) 程中的应力场强度因子的最大和最小值，Omax和 omim分别是一个疲劳应力循环中的应力的最大和 E 2=a=f(2N),可得 最小值.根据疲劳裂纹扩展速率da/dW(N为齿轮 弯曲疲劳的总寿命)与应力场强度因子范围△K在 e=(2NgP. 2 E (3) 双对数坐标系中呈线性关系，即 式中：oa为应力幅，为疲劳强度系数，b为疲劳 =C(AK)", da (11) 强度指数，均可以通过查资料得出：E为材料的弹 将应力场强度因子范围△K=Y△o√元a代入疲劳 性模量. 裂纹扩展速率式(11)后得 将式(1)和(3)代入式(2)可以得出 da =CYm△amx罗a罗 (12) 告-兽2NP+ear. dN E (4) 将变量分离后得 如果将式（④）和材料的循环应力-应变曲线结 da 合起来就可以得到如下关系式： dN= CYm元苦△gma受' (13) 对上式两边同时积分可得 -是+() (5) ae da Np= dN= CYm元号△oma罗= 式中，是循环应变硬化指数.式(4)表示了应变 1-号一0 1-罗 与疲劳裂纹萌生寿命的函数关系，式（⑤）表示了应 ac (14) 变与应力之间的函数关系，因此将式(4)和（⑤）联 (-罗)Crmr号△gm 合求解就可以获得应力与疲劳裂纹萌生寿命的函数 式中，N。为疲劳裂纹扩展寿命，a。为临界裂纹长 关系，如果已知应变△或应力△σ和有关参数，就 度，C和m为材料常数，需由实验确定 可以通过式(4)及（⑤）联立求解疲劳裂纹萌生寿命. 1.2疲劳裂纹扩展寿命 2 基于雨流计数法的等效循环应力分析 现代断裂理论指出，当物体内存在裂纹时，裂 要合理预测齿轮的疲劳寿命，需要根据齿轮动 纹尖端的应力在理论上为无穷大，需用应力场强度 载荷谱确定名义应力、应变范围和相应的循环次· 814 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 纹失稳断裂三个阶段. 由于裂纹失稳断裂阶段时间 极短，因此在计算疲劳过程的总寿命时，只将疲劳 裂纹的萌生寿命和扩展寿命相加. 本文应用局部应 力–应变法和疲劳损伤累积理论推导疲劳裂纹的萌 生寿命，采用动载荷谱和疲劳裂纹扩展理论推导疲 劳裂纹的扩展寿命. 1 理论模型 1.1 疲劳裂纹萌生寿命 决定工程构件疲劳强度和寿命的是应变集中 处最大局部应变和应力. 当利用塑性应变幅 ∆εp/2 的对数与发生破坏的载荷循环次数 Nf 的 2 倍的对 数作图时，对于金属材料存在直线关系： ∆εp 2 = ε 0 f (2Nf) c . (1) 式中，Nf 是疲劳裂纹萌生寿命，ε 0 f 是疲劳延性系 数，c 是疲劳延性指数. 由于在恒应变幅实验中，总 应变幅 ∆ε/2 可以写成弹性应变幅 ∆εe/2 和塑性应 变幅 ∆εp/2 之和，即 ∆ε 2 = ∆εe 2 + ∆εp 2 . (2) ∆εe 2 = ∆σ 2E = σa E ，且 ∆σ 2 = σa = σ 0 f (2Nf) b，可得 ∆εe 2 = σ 0 f E (2Nf) b . (3) 式中：σa 为应力幅，σ 0 f 为疲劳强度系数，b 为疲劳 强度指数，均可以通过查资料得出；E 为材料的弹 性模量. 将式 (1) 和 (3) 代入式 (2) 可以得出 ∆ε 2 = σ 0 f E (2Nf) b + ε 0 f (2Nf) c . (4) 如果将式 (4) 和材料的循环应力–应变曲线结 合起来就可以得到如下关系式： ∆ε 2 = ∆σ 2E + ε 0 f µ ∆σ 2σ 0 f ¶ 1 n0 . (5) 式中，n 0 是循环应变硬化指数. 式 (4) 表示了应变 与疲劳裂纹萌生寿命的函数关系，式 (5) 表示了应 变与应力之间的函数关系，因此将式 (4) 和 (5) 联 合求解就可以获得应力与疲劳裂纹萌生寿命的函数 关系，如果已知应变 ∆ε 或应力 ∆σ 和有关参数，就 可以通过式 (4) 及 (5) 联立求解疲劳裂纹萌生寿命. 1.2 疲劳裂纹扩展寿命 现代断裂理论指出，当物体内存在裂纹时，裂 纹尖端的应力在理论上为无穷大，需用应力场强度 因子 K 来表示. K 的大小反映了裂纹尖端附近区 域内弹性应力场的强弱程度，可以用来判断裂纹尖 端是否发生失稳的指标，即当载荷达到某一临界值 时，构件发生裂纹扩展，同时应力强度因子 K 也达 到某一临界值. 对于一般情况下，应力场强度因子 K 的普遍形式如下： K = Y σ√ πa. (6) 式中：Y 是取决于裂纹长度 a 和试样宽度 W 的比 值的几何因子；对内部裂纹和贯穿裂纹而言 a 为裂 纹的半长度，对表面裂纹而言 a 为裂纹深度. 在用 线弹性断裂力学描述疲劳裂纹的扩展速率时，应用 应力场强度因子范围 ∆K = Kmax − Kmin，其中 Kmax = Y σmax√ πa, (7) Kmin = Y σmin√ πa, (8) ∆K = Y ∆σ √ πa, (9) ∆σ = σmax − σmin. (10) 式中，Kmax 和 Kmin 分别是一个疲劳应力循环过 程中的应力场强度因子的最大和最小值，σmax 和 σmin 分别是一个疲劳应力循环中的应力的最大和 最小值. 根据疲劳裂纹扩展速率 da/dN(N 为齿轮 弯曲疲劳的总寿命) 与应力场强度因子范围 ∆K 在 双对数坐标系中呈线性关系，即 da dN = C(∆K) m, (11) 将应力场强度因子范围 ∆K = Y ∆σ √ πa 代入疲劳 裂纹扩展速率式 (11) 后得 da dN = CY m∆σ mπ m 2 a m 2 , (12) 将变量分离后得 dN = da CY mπ m 2 ∆σma m 2 , (13) 对上式两边同时积分可得 Np = Z Np 0 dN = Z ac a0 da CY mπ m 2 ∆σma m 2 = a 1− m 2 c − a 1− m 2 0 ³ 1 − m 2 ´ CY mπ m 2 ∆σm . (14) 式中，Np 为疲劳裂纹扩展寿命，ac 为临界裂纹长 度，C 和 m 为材料常数，需由实验确定. 2 基于雨流计数法的等效循环应力分析 要合理预测齿轮的疲劳寿命，需要根据齿轮动 载荷谱确定名义应力、应变范围和相应的循环次