技能、知识的获得显得顺理成章，学生获得的也不仅仅是知识，还有知识背后的数学活动经验.真 正的数学教有理论必然要体现数学发展环节和发展过程的辩证统一，认识结果与认识过程的辩证 3课例 30年来，青浦的教学质量稳步提升，青浦教师的教学理念发生了深刻变化，课堂教学设 也很好地体现了4条教学原理，抓住了数学的本质，我们剖析“无穷等比数列各项和”的教学设 计，该课由青浦朱家角中学一位从学校毕业不久的年轻女教师执教，青浦教师进修学校摄制.我 们反复观看了课堂教学录像 并和执教教师进行 了座谈， 了解了教师的设计意图 教师采用芝诺论 追龟说”引出课题。在座谈》 笔者 人为这样处理不妥，就问她》 什么不使用《庄子·天下篇》里的辩题 ·尺之棰，日取其半，万世不竭”的例子，而采用一个 千年悖论，教师说“一尺之桶”的例子在本章教学之初就用了，再用这个例子可能激不起学生的 兴趣，而采用芝诺悖论有两点好处：一是历史上，17世纪比利时的数学家圣文森特利用无穷等比 数列级数解决了芝诺悖论后 ,无穷等比数列的求和问题才渐渐为人们所熟悉： 二是悖论比“一尺 的例子 在课堂实录的录像带上 也的确如叫 数学 是好玩的 情意原理的根本出发点是“以情意促认知”，调动学生的学习激情的根本目的在于更好地完成认知 任务，变“苦学”为“乐学”，但落脚点还是在学. 教师创设情景问题后，学生开始了自由探究活动.中学生的思维灵活、少束缚，很多学生 用算术方法就得出了芝诺在何处就能追上乌鱼，直观结果与梦诺的认知方式产生了强列反， 次激起学生的强烈兴趣，教师充分“利用课堂生成资源”，顺势一转，“如果按芝诺的思维方式， 我们也能得出这个结论吗？”教师引导学生抓住路程相等这个因素，让学生用等比 数列把两者的 程表示出来.无穷数列求和对学生来说显然是一道“坎”，历史上阿基米德在求解弓形的面积时 得到数列1,14，(1/42，.，(14^n ,·,而基米德虽然洁楚这个数列无穷项之和是那样 地接近43，但还没有使用对等比数列前项和取极限的方法，也没有大胆地去定义无穷数列的 和。原因很简单，阿基米德的思想仍被古希腊关于无限的疑难所限制.苦于没有极限概念，人们 在很长 一段时间不能跨越无限 ·由认知的历史相似性原理，这些困扰 智者的困惑也是学生的困 是知识建构过程中的难点、关键。现在的学生已经接触了一点数列极限的概念，教师以此为基础 帮助学生跨过了这道“坎”，教师试着让学生对数列前项和取极限，结果显示了此方法的合理性.无 穷虽然是一个很难跨越的概念，对无穷多项求和还涉及到和存在与否的问题，但教师按序进原理 把已有的取极限方法用之于新问颗，并接受实践的检验，引导学生学试、探索，创造性地解决了 明了 方法的合理性， 表现出大胆探索的 面，并没有追求理论上的完备，这也符合 数 的发展规律。教师接着把上述问题一般化、形式化后让学生自行经历分类讨论 分析综合的探语 活动，完成了公式的推导、概念的形成，方法也形成了模式.这和历史的进程是一致的，直到16 世纪，韦达将等比数列公式加以推广，得到了无穷等比数列的求和公式 公式发现、推导完成之后，由反馈原理就要组织有层次的训练了，数师以变式的方式有序 地组织了例题安排， 先以三角形为背景， 衣次取三角形各边的中点形成三角形，如此下去，形成 系列三角形， 并求这一系列三角形面积之和。然后以正方形为背景，依次取正方形各边的中， 形成正方形，如此下去，形成一系列正方形，并求这一系列正方形面积之和.虽然教师基本上让 学生独立、自主地解决了上述问题，但还可以对活动原理进一步运用.教师完全可以让学生编题、 解题，这对活跃学生思维，让学生充分表达自己的观点和意见应是一条可以尝试的路子」 4条教学原理彼此联系、浑然一体，在教学设计的每一个环节要同时考虑这4条原理，但要 有侧重. 用4条原理统率教学设计，数学教学的图景就会变得清晰而美 4认识 学科教有是教有学里最薄弱的学科.中国的学科教有很少能进入教有家和教有领导部门的 视野.相对而言，数学教有是所有学科教有里发展得较好的学科.然而，数学教有的处境也很尴 技能、知识的获得显得顺理成章，学生获得的也不仅仅是知识，还有知识背后的数学活动经验．真 正的数学教育理论必然要体现数学发展环节和发展过程的辩证统一，认识结果与认识过程的辩证 统一． 3 课 例 30 年来，青浦的教学质量稳步提升，青浦教师的教学理念发生了深刻变化，课堂教学设计 也很好地体现了 4 条教学原理，抓住了数学的本质．我们剖析“无穷等比数列各项和”的教学设 计．该课由青浦朱家角中学一位从学校毕业不久的年轻女教师执教，青浦教师进修学校摄制．我 们反复观看了课堂教学录像带，并和执教教师进行了座谈，了解了教师的设计意图． 教师采用芝诺悖论“追龟说”引出课题．在座谈之前，笔者认为这样处理不妥，就问她为 什么不使用《庄子·天下篇》里的辩题“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的例子，而采用一个 千年悖论．教师说“一尺之棰”的例子在本章教学之初就用了，再用这个例子可能激不起学生的 兴趣，而采用芝诺悖论有两点好处：一是历史上，17 世纪比利时的数学家圣文森特利用无穷等比 数列级数解决了芝诺悖论后，无穷等比数列的求和问题才渐渐为人们所熟悉；二是悖论比“一尺 之棰”的例子更容易激起学生的兴趣．在课堂实录的录像带上，也的确如此．数学不总是好玩的， 情意原理的根本出发点是“以情意促认知”，调动学生的学习激情的根本目的在于更好地完成认知 任务，变“苦学”为“乐学”，但落脚点还是在学． 教师创设情景问题后，学生开始了自由探究活动．中学生的思维灵活、少束缚，很多学生 用算术方法就得出了芝诺在何处就能追上乌龟．直观结果与芝诺的认知方式产生了强烈反差，再 次激起学生的强烈兴趣，教师充分“利用课堂生成资源”，顺势一转，“如果按芝诺的思维方式， 我们也能得出这个结论吗?”教师引导学生抓住路程相等这个因素，让学生用等比数列把两者的路 程表示出来．无穷数列求和对学生来说显然是一道“坎”．历史上阿基米德在求解弓形的面积时， 得到数列 l，1/4 ，(1/4)^2 ，.，(1/4)^n ，.，阿基米德虽然清楚这个数列无穷项之和是那样 地接近 4/3 ，但还没有使用对等比数列前 n 项和取极限的方法，也没有大胆地去定义无穷数列的 和．原因很简单，阿基米德的思想仍被古希腊关于无限的疑难所限制．苦于没有极限概念，人们 在很长一段时间不能跨越无限．由认知的历史相似性原理，这些困扰智者的困惑也是学生的困惑， 是知识建构过程中的难点、关键．现在的学生已经接触了一点数列极限的概念，教师以此为基础 帮助学生跨过了这道“坎”．教师试着让学生对数列前项和取极限，结果显示了此方法的合理性．无 穷虽然是一个很难跨越的概念，对无穷多项求和还涉及到和存在与否的问题，但教师按序进原理， 把已有的取极限方法用之于新问题，并接受实践的检验，引导学生尝试、探索，创造性地解决了 问题，表明了方法的合理性，表现出大胆探索的一面，并没有追求理论上的完备，这也符合数学 的发展规律．教师接着把上述问题一般化、形式化后让学生自行经历分类讨论、分析综合的探索 活动，完成了公式的推导、概念的形成，方法也形成了模式．这和历史的进程是一致的．直到 16 世纪，韦达将等比数列公式加以推广，得到了无穷等比数列的求和公式． 公式发现、推导完成之后，由反馈原理就要组织有层次的训练了．教师以变式的方式有序 地组织了例题安排．先以三角形为背景，依次取三角形各边的中点形成三角形，如此下去，形成 一系列三角形，并求这一系列三角形面积之和．然后以正方形为背景，依次取正方形各边的中点 形成正方形，如此下去，形成一系列正方形，并求这一系列正方形面积之和．虽然教师基本上让 学生独立、自主地解决了上述问题，但还可以对活动原理进一步运用．教师完全可以让学生编题、 解题，这对活跃学生思维，让学生充分表达自己的观点和意见应是一条可以尝试的路子． 4 条教学原理彼此联系、浑然一体，在教学设计的每一个环节要同时考虑这 4 条原理，但要 有侧重．用 4 条原理统率教学设计，数学教学的图景就会变得清晰而美丽． 4 认 识 学科教育是教育学里最薄弱的学科．中国的学科教育很少能进入教育家和教育领导部门的 视野．相对而言，数学教育是所有学科教育里发展得较好的学科．然而，数学教育的处境也很尴