自动控制原理电子教案 例8.5设线性连续系统的状态方程为 试确定状态反馈控制律u=Kx,使闭环系统的极点为-1,-2,-3。 解因为 010 mk4]=m0-1013 所以,输入u1使系统状态完全能控。设系统的状态反馈控制律为 1=[k1k12k13 则状态反馈系统的特征方程为 010 det(al-A-b, K1)=det(2l-00-I 100 =23-k132+k12+k1-1 系统期望的特征方程为 ∫'(4)=(+1)(4+2)(+3)=23+612+11+6 令特征方程和期望特征方程的系数对应相等,得k1=7,k12=11,k13=-6 注意到,这时,仅对1进行状态反馈设计,所以,k21=0,k2=0 因此,系统的状态反馈阵为 K 容易验证,输入u2也使系统状态完全能控。对u2进行状态反馈设计,可 得状态反馈阵为 例86设线性离散系统的状态方程为 x(k+1)=0-10k(k)+10p(k) 试确定状态反馈u(k)=Kx(k),使闭环系统的极点为p=-0.5, P2,P3=0.5±0.5 解闭环系统的期望特征多项式为 f'(4)=(-P1-p2)A-p3)=23-0.5x2+0.25 因为 rank(B AB 4=B]=rank 10-10 10=3 所以系统是状态完全能控的。而对两个单输入有 浙江工业大学自动化研究所自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 例 8.5 设线性连续系统的状态方程为 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 & 试确定状态反馈控制律u = Kx ，使闭环系统的极点为-1，-2，-3。 解 因为 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − & = − [ ] 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − rank b Ab A b = rank 所以，输入u1 使系统状态完全能控。设系统的状态反馈控制律为 u [k k k ]x 1 = 11 12 13 则状态反馈系统的特征方程为 [ ] 1 ) 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 det( ) det( 12 11 2 13 3 1 1 11 12 13 = − + + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − − k k k I A b K I k k k λ λ λ λ λ 系统期望的特征方程为 ( ) ( 1)( 2)( 3) 6 11 6 * 3 2 f λ = λ + λ + λ + = λ + λ + λ + 令特征方程和期望特征方程的系数对应相等，得 k11 = 7 ， k12 = 11， 。 注意到，这时，仅对 进行状态反馈设计，所以， k13 = −6 u1 k 21 = 0 ，k 22 = 0 ， 。 因此，系统的状态反馈阵为 k 23 = 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 7 11 6 21 22 23 11 12 13 k k k k k k K 容易验证，输入 也使系统状态完全能控。对 进行状态反馈设计，可 得状态反馈阵为 u2 u2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 11 6 7 0 0 0 K 例 8.6 设线性离散系统的状态方程为 ( ) 0 1 1 0 1 1 ( ) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 x(k 1) x k u k ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − 试 确 定状态反馈 u(k) = Kx(k) ，使闭环系统的极点为 p1 = −0.5 ， p2 , p3 = 0.5 ± j0.5 解 闭环系统的期望特征多项式为 ( ) ( )( )( ) 1 2 3 * f λ = λ − p λ − p λ − p 0.5 0.25 3 2 = λ − λ + 因为 [ ] 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ rank B AB A B = rank − 所以系统是状态完全能控的。而对两个单输入有 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所