W()-F()=f(-)-f(-)=0 (=)=F(=)+C 令二=二0,则C=W(二0),F()=(-)-1(=0) 进而有 (=1)=f(<)d=W(=)-W(=0) 定理若∫(=)在单连域D内解析,W()是∫(=) 的一个原函数 则对 D,有 ∫/(k=()-()=( 与定积分中的牛顿一莱布尼茨公式相似 例 2+4 解:当|二k≤1时 =2+22+4≥4-|2|-|=124-2-1>0 coS(2+2+ 在|=1上解析 从而 例 c 0z+1 解 只在z=-1点不解析,但去掉x=-1 成多连域,找单连域 在D:-n<arg(x+1)<丌内解析 故[W (z) − F(z)] = f (z) − f (z) = 0 W(z) = F(z) + C 令 0 z = z ，则 ( ), ( ) ( ) ( ) 0 0 C = w z F z = w z − w z 进而有  = = − 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 z z F z f  d W z W z 定理 若 f (z) 在单连域 D 内解析， W (z) 是 f (z) 的一个原函数， 则对 z0 ,z1  D ，有 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 z z f z dz W z W z W z z z = − =  与定积分中的牛顿—莱布尼茨公式相似 例： dz z z z z  z = + + + + | | 1 2 100 2 4 cos( 1) 解：当 | z | 1 时 | 2 4 | 4 | 2 | | | 4 2 1 0. 2 2 z + z +  − z − z  − −  故 2 4 cos( 1) 2 100 + + + + z z z z 在 | z | 1 上解析, 从而 0 2 4 cos( 1) | | 1 2 100 = + + + +  = dz z z z z z 例：  − + + i dz z 1 0 1 1 解： 1 1 z + 只在 z = −1 点不解析，但去掉 z = −1 成多连域，找单连域。 1 1 z + 在 D : −  arg(z +1)   内 解析， 1 1 (ln( 1)) + +  = z z ， 故  − + = − = − + = + + i i i i dz z z 1 0 2 ln ln 1 0 1 ln( 1) 1 1 