上式表明：y(k)的任一分量i(i=1,2…,P)是由y(k-1),…y(k-n)和u(k-d), …u(k-d-1),…,u(k-d-n)的j(j=1,2,…,P)分量及噪声等所组成的，当u(k- d),…改变时，y(k)也随之而变，我们的目的就是要适当的选取“(k)，使得下列性能指 标为最小 V=minE(y(k+d)-y:)TQ(y(k+d)-y:)} (4) u(k) 式中Q为半正定律，y,为所要求的输出量的参考向量，由此而得到的最优控制律就是最小方差 控制。 最小方差控制的解析形式的解，也就是说最优控制的输入“(k),可以用直到目前为止 的输出观测向量y(k)、y(k一1)、…及输入向量u(k-1),u(k-2)、…来表示，下 面我们来推导多变量系统的最小方差控制律。 当系统的参数已知时，被控系统在k+d时刻的输出表示式可写成 y(k+d)=A-1(Z-1)B(Z-1)u(k)+A-1(Z-)C(Z-1)e(k+d)(5) 为了把上式中右边的第二项随机噪声部分分解为独立于及依赖于直到当前时刻为止的观 测值的两部分，引入下列分解式： C(Z-1)F(Z-1)=A(Z-1)G1(Z-1)F(Z-1)+Z-B(Z-1) (6) 这里 F(Z-1)=F。+F,Z-1+…+FmZm G-1(Z-=1+G1Z-1+…+Ga-1Z-4+1 (7) 利用(6)式，则(5)式可以改写成下列形式 y(k+d)=A-1(Z-)B(Z-1)u(k)+G-1(Z-)e(k+d) +A-1(Z-1)B(Z-)F-1(Z-1)e(k) 再应用（3)及(6)式，经过简单运算后，上式可写成 y(k+d)=A-1(Z-1)B(Z-1)F-1(Z-)C-1(Z-)A(Z-)y(k)+G1(Z-) C-(Z-1)B(Z-1)u(k)+G1(Z-)e(k+d) (8) 上式中的第三项是e(k+1),e(k+2),…,e(k+d)的线性组合，是不能预测的，具有 零均值的高斯独立随机序列，且与所有的y(k),y(k-1),…,u(k一1)，u(k一2)，…相互 独立，又设最优输出的估计值为y(k+d/k),则由输出误差平方和为最小的性能指标 (4)式有 V=minE{〔G1(Z-1)e(k+d)+A-(Z-1)B(Z-1)F-1(Z-)C-1(Z-1) u(k) A(Z-)y(k)+G1(Z-1)C-1(Z-)B(Z-)u(k)-y(k+d/k)T Q〔G(Z-1)e(k+d)+A-1(Z-)B(Z-1)F-1(Z-1)C-1(Z-1)A(Z-1) y(k)+G1(Z-1)C-1(Z-1)B(Z-1)u(k)-y(k+d/k)〕} minE(G-(Z-)e(k +d))TQ(G-i(Z-)e(k +d)) u(k) +〔A-1(Z-1)B(Z-1)F-1(Z-2)C-(Z-)A(Z-1)y(k)+G-1(Z-1) C-1(Z-1)B(Z-1)u(k)-y(k+d/k)TQ(A-1(Z-)B(Z-1)F-1(Z-) C-1(Z-1)A(Z-1)y(k)+G1(Z-1)C-1(Z-1)B(Z-1)u(k) -y(k+d/k))}≥E〔G1(Z-1)e(k+d)TQ〔G1(Z)e(k+d)) 67上式表 明 的任一分量 ， … ， 是 由 一 ， … 一 和 一 ， … 一 一 ， … ， 一 一 的 二 ， ， … ， 分量 及噪声等所组成的 ， 当 一 ， … 改变时 ， 也 随之而变 ， 我们 的 目的就是要适 当的选取 ， 使得下列 性能 指 标为最 小 一 〕 〔 一 ， 〕 式 中 为半正定律 ， ，为所要求的输出量 的 参考 向量 ， 由此 而得到的最优控制律就是最小方差 控制 。 最 小方差控制 的解 析形式 的解 ， 也就 是说 最 优控 制 的输入 ， 可 以用直 到 目前为止 的输出观 测 向量 、 一 、 二 及输入 向量 一 ， 一 、 … 来表示 ， 下 面 我们来推导多变 量系 统的最小方 差控 制律 。 当系统的参数 巳知 时 ， 被控系 统在 时刻的输出表示式可写成 一 ‘ 一 ， 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 一 ， 为了把上式 中右边 的第二项 随机噪 声 部分分解为独立于 及依赖于直 到 当前时刻为止的观 测值 的两部分 ， 引入下列分解式 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 一 ‘ 一 ‘ 一 。 一 ， 这 里 一 ， 。 一 … ， 一 ’ 一 ‘ 一 盆 … 一 一 今 ’ 利用 式 ， 则 式可 以改 写成下列形式 一 ， 一 ， 一 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 二 一 皿 一 ’ 再应用 及 式 ， 经 过 简单运 算后 ， 上式可 写成 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ‘ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ ‘ 一 ‘ 上式 中的第三 项是 ， ， … ， 的线性组合 ， 是 不能 预 测 的 ， 具有 零均值 的高斯 独立 随机序列 ， 且 与所有的 ， 一 ， … ， 一 ， 一 ， … 相 互 独立 ， 又设 最优 输出的估计值为 ， 则 由输 出误 差 平 方和 为最 小 的性 能 指标 ‘ 式有 笼〔 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 ’ 一 ‘ 一 ’ 一 ， 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 一 〕 以子一 ‘ 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 ’ 一 几 一 ’ 一 ’ 一 ， 一 ， 一 一 一 ， 一 〕 〔 一 ， 一 ’ 〕 一 ， 一 ， 〕 〔 一 ， 一 ’ 一 ， 一 一 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 〕 〔 一 ， 一 ， 一 ‘ 一 一 ‘ 一 ’ 一 ‘ 一 ’ 一 ’ 一 盈 一 ‘ 一 一 一 〕 〔 一 一 ， 〕 〔 ‘ 一 ‘ 〕