《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 由6的任意性，(3③)式只有当4-时=0时，即A=B时才成立 证注一mf(x)1mf(x)三B日A>B,取o2,则36>0，使出 0<-d<6时，/x)-A<lfx)-A<6 即 4牛B=A-<f0<B+,-=4+B 2 2矛盾 性质2（局部有界性）若1imf(x)存在，则f在x,的某空心邻域内有界. 证明取。=1，由回=A36>0,当0<-<6时，有-A<1 即 fx≤A+fx)-A≤A+l 说明)在，化，上有界，4+1就是一个界. 性质3（保序性）设四/闭=6，mg)=c 1)若b>c,则6，>0，当0<-<心时有f)>g): 2)若6，>0，当0<水-小<心时有f)≥8)，则b2c.(保不等式性) 至期D取学经0》反证，自山即期 注若在2)的条件中，改“fx)≤g(x)”为“f(x)<g(x)”，未必就有 A<B.以f(x)=1+x2,g(x)=1,x。=0举例说明. 推论（局部保号性）如果f)=b且b≠0，则式，>0使当0<水-d小<时)与b同 号 性质4（迫敛性）设imfx)=im(x)=A,且在某0(6：6)内有f)≤gx)≤(x), 则1imx)=A. 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 2 由  的任意性，（3）式只有当 A− B = 0 时，即 A = B 时才成立. 证法二 反证,如 lim f (x) x→a = A ， f x B x a = → lim ( ) 且 A  B ，取 2 0 A − B  = ，则   0 ，使当 0  x − a   时， 0 0 f (x) − A   , f (x) − B   , 即 2 ( ) 2 0 0 A B A f x B A B + = −   + = +   矛盾. 性质 2（局部有界性） 若 0 lim ( ) x x f x → 存在，则 f 在 0 x 的某空心邻域内有界. 证明 取  0 = 1 , 由 f x A x x = → lim ( ) 0 ,    0, 当 0  x − x0   时, 有 f (x) − A 1 , 即 f (x)  A + f (x) − A  A +1， 说明 f (x) 在 ( ; ) U0 x0  上有界， A +1 就是一个界. 性质 3（保序性） 设 f x b x a = → lim ( ) ， g x c x a = → lim ( ) . 1）若 b  c ，则  0  0 ，当 0  −a  0 x 时有 f (x)  g(x) ； 2）若  0  0 ，当 0  −a  0 x 时有 f (x)  g(x) ，则 b  c .（保不等式性） 证明 1） 取 2 0 b − c  = 即得.2）反证，由 1）即得. 注 若在 2）的条件中, 改“ f (x)  g(x) ”为“ f (x)  g(x)”, 未必就有 A  B. 以 ( ) 1 , ( ) 1, 0 0 2 f x = + x g x  x = 举例说明. 推论（局部保号性） 如果 f x b x a = → lim ( ) 且 b  0 ，则  0  0 使当 0  −a  0 x 时 f (x) 与 b 同 号. 性质 4（迫敛性） 设 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x A → → = = ，且在某 0 0 U x( ; )   内有 f x g x h x ( ) ( ) ( )   ， 则 0 lim ( ) x x h x A → =