《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 证明Ve>0,曲盟w=4,36>0,使得当0<k-<8时， 有/)-A<6,即A-8<f)<A+. 又由)=A,38>0,使得当0<-小k时，有%-<c. 即A-8<hx)<A+6, 令6=m(,d,),则当0<-<时，有A-6<f)≤g)≤)<A+s 即g)-A<6,故m8()=A 性质6（四则运算法则）若mfx)和1m)都存在，则函数∫士g,尽当x→x。时极限 也存在，且1Dm[/)±gx)=mfx)±mgx):2)m(f小gx)=mf-im8). g收：州e点精侣员 3)的证明 11 ,由国8)=B,36>0使得当0<-<6时， 有3)-< F2，即34-g-≥网-回.1A 22. 0费由只阳孩之0使得当0-水时有-字 2 取6=mm6,d),则当0<k-<6时，有 两-a4房号c 2 职g网B 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极 限.已证明过以下几个极限： iC-C.sn x=sin i cosx=cos 0典ag=号 (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时，利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质， 把所求极限化为基本极限，代入基本极限的值，即计算得所求极限。 例1求回 3《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 证明    0 , 由 f x A x x = → lim ( ) 0 ， 1  0 ，使得当 0  − 0   1 x x 时， 有 f (x) − A   ，即 A −   f (x)  A +  . 又由 h x A x x = → lim ( ) 0 ， 2  0 ，使得当 0  − 0   2 x x 时 ，有 h(x) − A   ， 即 A −   h(x)  A +  . 令 min( , )  =  1  2 ，则当 0  x − x0   时，有 A −   f (x)  g(x)  h(x)  A +  即 g(x) − A   ，故 g x A x x = → lim ( ) 0 . 性质 6（四则运算法则） 若 0 lim ( ) x x f x → 和 0 lim ( ) x x g x → 都存在，则函数 f g fg  , 当 0 x x → 时极限 也存在，且 1）   0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x → → →  =  ；2） ( ) 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x → → →  =  . 又若 0 lim ( ) 0 x x g x →  ，则 f g 当 0 x x → 时极限也存在，且有 3） 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x f x g x g x → → → = . 3）的证明 只要证 x x g x B 1 ( ) 1 lim 0 = → ，令 0 2 0 =  B  ，由 g x B x x = → lim ( ) 0 ， 1  0 使得当 0  − 0   1 x x 时， 有 2 ( ) B g x − B  ， 即 2 2 ( ) ( ) B B g x  B − g x − B  B − = .    0 , 仍然由 g x B x x = → lim ( ) 0 ， 2  0, 使得当 0  − 0   2 x x 时，有  2 ( ) 2 B g x − B  . 取 min( , )  =  1  2 ，则当 0  x − x0   时，有  −    =  − − = 2 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 2 2 B B g x B g x B B g x B g x B 即 x x g x B 1 ( ) 1 lim 0 = → . 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极 限.已证明过以下几个极限： lim , lim , lim sin sin , lim cos cos ; 0 0 0 0 0 0 0 C C x x x x x x x x x x x x x x = = = = → → → → . 2 0, lim 1 lim  = =  → → arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 1 求 0 1 lim x x → x      