5.一个由理想导体做成的无穷长波导管,其截面均匀,如图15.1所示.管内为真空 假定一个平面(即图中的一条直边)的电势为V,其余面上 的电势均为0.试求波导管内的电势分布 6.求解球内的定解问题: at-d( dr l=0有界,a-1=Aexp{- 提示1(m)=m 第十六章球函数 (在下列各题中,k,l均为自然数 1.证明: Px(r)Pl(r)dr=(1-12) Pk()P(a)-P(a)Pk(a) k(k+1)-1(+1) 2.计算积分 (1+r)"P(a)dz, 注意分别讨论k≥l和k,l两种情形 3.计算下列积分 (1)/Px)ln(1-)dr (2)/P(x)(1-x)-odx,0<a<1 4.从 Legendre多项式的生成函数证明 (1)P(-1/2)=∑Pk(-1/2)P2-k(1/2)(2)P(cos2)=∑(-)P2(csO)P2-k(os8) k=0 5.计算下列积分 (1)/Pk(a)Pi(=r)dr (2)/zP(r)Pl+1(a)dr (3)/x2P2(x)P2+2(x)dx; (4)/P(x)dr 6.将下列定义在[-1,1上的函数按 Legendre多项式展开 (2)f(x)=√1-2xt+t (3)f(x)= (4)f(x)=2x+lWu Chong-shi ❱ ❲ 19 5. ❞❡ ↕ðñ❆❸ò➣✑ÛÜ❭ó❆ô✷❈❫ ■ ✰❴✷✸✪ 15.1 q✭Pô ➅✛õáP Ù✈❞❡❍■ (❇✪④✑❞✉➒❲) ✑å æ ✛ V ✷❈ö ■ ✽ ✑å æ ✰✛ 0 P❯✱ó❆ô➅✑å æ ◆➽P 6. ✱❉➌➅✑✈❉⑨❏✚ ∂u ∂t − κ r 2 ∂ ∂r  r 2 ∂u ∂r  = 0, u   r=0 ❶t, u   r=1 = A expn − (pπ) 2κto , u   t=0 = 0. ➪➶✚1 r 2 ∂ ∂r  r 2 ∂u ∂r  ≡ 1 r ∂ 2 (ru) ∂r2 . ❸ 15.1 ✄✹æ✆ ÷✡✞ (❃✌✍➾❏④✷ k, l ✰✛ ø➯✏) 1. ❋●✚ Z 1 x Pk(x)Pl(x)dx = ￾ 1−x 2
P 0 k (x)Pl(x)−P 0 l (x)Pk(x) k(k + 1)−l(l + 1) , k 6=l. 2. ➑➒➓◆ Z 1 −1 (1 + x) kPl(x)dx, ù ✫◆❖❛❜ k ≥ l ✗ k, l ♥úû✫P 3. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z 1 −1 Pl(x) ln(1 − x)dx; (2) Z 1 −1 Pl(x)(1 − x) −αdx, 0 < α < 1. 4. ü Legendre ❫Ù❄✑ý➣✣✏❋●✚ (1) Pl(−1/2) = X 2l k=0 Pk(−1/2)P2l−k(1/2); (2) Pl(cos 2θ) = X 2l k=0 (−) kPk(cos θ)P2l−k(cos θ). 5. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z 1 0 Pk(x)Pl(x)dx; (2) Z 1 −1 xPl(x)Pl+1(x)dx; (3) Z 1 −1 x 2Pl(x)Pl+2(x)dx; (4) Z 1 −1 h xPl(x) i2 dx; 6. Ó✌✍✈➀❃ [−1, 1] ✽✑✣✏➍ Legendre ❫Ù❄ÔÕ✚ (1) f(x) = x 2 ; (2) f(x) = √ 1 − 2xt + t 2; (3) f(x) = |x| ; (4) f(x) = 1 2 x + |x| .