a+a2x2+.+anxn=0 ax+a2x2+.+a2nxn=0 01000tt1t1t0t1t111410 a,+a2+.+anxn=0 的全部解向量作成P”的一个子空间，称为齐次线性方程组的解空间 显然，解空间的基就是方程组的基础解系其维数为一rr为系数矩阵的秩 设a,a,.,a,∈V.则易知 L(a,a,.,a,)={ka+k42+.+ka,k,.,k∈p2} 是V的子空间，称为由a,，.，a,生成的子空间显然V的任一包含,4，.，的子空间必包 含L(a,.,a,)此外.设W是V的子空间若a,a2,.,a,是W的一组基则W=L(a,a,.,a) 定理3.1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2)设向量组a,4,.,a,的 秩为S,则dimL(a,.,a,)=S. 证明1)设4，a2,.,a,与B,月2，.，B,是两个向量组，若 L(a,4,.,a,)=L(R,A,.R, 则每个a,均可被R,.,B,线性表出，同样，每个B,也可被a,.,a,线性表出，故二向量组等价。 反之，若二向量组等价.则每个a,可被B,.,B线性表出，从而每个a=L(a,.,a,)均可被 R,.,B线性表出，于是ae(R,.,)故L(a,.,a,)S(A,.,B)·同理 L(g,.,B,)cL(a,.,a,).因此，L(a,.,a）cL(B,.,f,) 2).设a,a2,.,a,为a,a,.,a,的一个极大线性无关组则二者等价 由1)知L(a,.,g,)L(a,.,a,).再由定理1即知dimL(a,.,a,)=S 定理4.设W是n维线性空间V的一个m维子空间.a,.,a是W的一组基，则它必可扩充为 V的一组基， 证明对n一m作归纳法.n-m=0时结论显然成立.设n-m=k时定理成立看n一m=k+1的 情 既然凸，.，an线性无关但不是V的基.故必有a1∈V不能被4，.，an线性表出，且 11 1 21 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 的全部解向量作成 n P 的一个子空间,称为齐次线性方程组的解空间. 显然,解空间的基就是方程组的基础解系.其维数为 n r r − . 为系数矩阵的秩. 设 1 2 , , ,   r V .则易知 1 2 ( , , , ) L   r   2 1 1 2 2 1, , r r r = + + +  k k k k k P    是 V 的子空间,称为由 1 2 , , ,   r 生成的子空间.显然 V 的任一包含 1 2 , , ,   r 的子空间必包 含 1 2 ( , , , ) L   r .此外.设 W 是 V 的子空间.若 1 2 , , ,   r 是 W 的一组基,则 W 1 2 ( , , , ) = L   r 定理 3.1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2)设向量组 1 2 , , ,   r 的 秩为 S ,则 1 dim ( , , ) . L S  r = 证明 1)设 1 2 , , ,   r 与 1 2 , , ,   r 是两个向量组,若 1 2 ( , , , ) L   r 1 2 ( , , , ), = L   r 则每个 i 均可被 1 , ,  s 线性表出,同样,每个  j 也可被 1 , ,  r 线性表出,故二向量组等价. 反之, 若二向量组等价.则每个 i 可被 1 , ,  s 线性表出, 从而每个 1 ( , , )    = L r 均可被 1 , ,  s 线 性 表 出 , 于 是 1 ( , , )    L s 故 1 ( , , ) L  r  1 ( , , ) L  s . 同 理 1 1 ( , , ) ( , , ) L L     s r  .因此, 1 ( , , ) L  r  1 ( , , ) L  s 2). 设 1 2 , , ,   s 为 1 2 , , ,   r 的一个极大线性无关组.则二者等价 由 1)知 1 ( , , ) L  r  1 ( , , ) L  s .再由定理 1 即知 1 dim ( , , ) . L S  r = 定理 4. 设 W 是 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间. 1 , ,   m 是 W 的一组基,则它必可扩充为 V 的一组基. 证明.对 n m− 作归纳法. n m− = 0 时结论显然成立.设 n m k − = 时定理成立.看 n m k − = +1 的 情形. 既 然 1 , ,   m 线 性 无 关但 不 是 V 的 基 . 故必 有  m+1 V 不能被 1 , ,   m 线性表出, 且