第二章多元函数 则称∫在P(x0,y)点可徽,并称线性函数A△x+B△y为在点的全微分,记成 d(xn,)=AAx+By.其中,p=d2(P,P),P(x,y (二)微分的性质: (1)偏导数存在是可微的必要条件:即 *A(, yo)=AAx+ BAy+o()=d(xo, yo)+o(p) →∫在P(xy0)点偏导数存在 =4,9(x →d(x2,)=9(x2 证明:4(x0,y0)=f(x0+△Ax,y+Ay)-f(x0,y) AAx+BAy+o(p) f(xo+ Ax,yo)-f(xo, yo) AAx+o(Ax) Ar f(xo, yo Ay)-s(xo, yo) BAy+o(Ay)A (2)偏导数连续是可微的充分条件:即 若f,厂在P(,y)点连续→∫在P(x,y)点可微 4(x0,y0)=Ax+BAy+o()=d(x0,y)+o() 且9(x)=A.0(xnyl)=B ff(xo 证明 4(x0,y0)=f(x0+△x,yo+4y)-f(x0,y0)= f(x+Ax, yo+ Ay)-f(xo+Ax, yo)+f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo) xo+ +b,△v)v+ f(x,y0Ax+o(△x) 第二章多元函数第二章 多元函数 第二章 多元函数 4 则称 f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微，并称线性函数 Ax + By 为在点的全微分，记成 df (x y ) = Ax + By 0 0 , . 其中， ( ) 2 0  = d P,P , P(x, y) (二) 微分的性质： (1) 偏导数存在是可微的必要条件：即 若 f (x y ) = Ax + By + o() = df (x y )+ o() 0 0 0 0 , ,  f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点偏导数存在, 且 ( ) A x f x y =   0 0 , , ( ) B y f x y =   0 0 ,  ( ) ( ) ( ) y y f x y x x f x y df x y     +   = 0 0 0 0 0 0 , , , . 证明： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = Ax + By + o() ; ( ) ( ) ( ) A x A x o x x f x x y f x y ⎯⎯x⎯→   +  =  0 +  0 − 0 0  →0 , , ; ( ) ( ) ( ) B y B y o y y f x y y f x y ⎯⎯y⎯→   +  =  0 0 +  − 0 0  →0 , , (2) 偏导数连续是可微的充分条件：即 若 x y f  , f  在 ( ) 0 0 0 P x , y 点连续  f 在 ( ) 0 0 0 P x , y 点可微 f (x y ) = Ax + By + o() = df (x y )+ o() 0 0 0 0 , , , 且 ( ) A x f x y =   0 0 , , ( ) B y f x y =   0 0 ,  ( ) ( ) ( ) y y f x y x x f x y df x y     +   = 0 0 0 0 0 0 , , , 证明： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x , y = f x + x, y + y − f x , y = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 f x + x, y + y − f x + x, y + f x + x, y − f x , y = f (x x y y) y f (x y ) x o( x) y  0 +  , 0 +1  + x  0 , 0  + 