例16-2在图16-2所示系统中,物块A的质量为m,与接触面处的滑动摩擦因数为 后,均质圆柱体的质量为M。不计绳重及定滑轮质量,当系统运动时,试求物块A和圆柱 体质心C的加速度aA和ac x 解此系统为二自由度系统,视FL4 A块的滑动摩擦力为主动力,可应用 动力学普遍方程求解。 FN (1)受力分析。以物块、柱体及 绳所组成的系统为研究对象。主动力 为物块和柱体的重力mg和Mg,物块 A的滑动摩擦力F=fmg。 A块作直线运动,圆柱体作平面 图16-2 运动。系统具有二自由度,取x4及xc为广义坐标,物块A、柱体质心C的加速度以及圆 柱的角加速度分别为 可得系统的惯性力和惯性力偶矩分别为 F=ma=mx, f=Ma=Mx Me=ja=-Mr "=Mr(x-x (b) (2)虚位移分析。当系统虚加惯性力后(见图16-2),系统则处于虚平衡状态。此位 置,给A物块以虚位移δx4,给C点以虚位移δxc,圆柱体的虚转角则为 xc-ox (3)用动力学普遍方程求解。根据式(16-1),有 Mg axc-Fsax-fuar- Fic ac-Mc do=0 (d) 将式(a)、(b)、(c)代入式(d),得 MB6x-FOx1-m?8x1-M:8%24r(x-x)-(6xe-6x)=0 经整理后为 M-M、1 M(xc-xaxc-Fs+mxM(*)ox,=0 由于δxA和δxc是彼此互为独立的虚位移,欲式(e)成立,则必须3 例 16-2 在图 16-2 所示系统中，物块 A 的质量为 m，与接触面处的滑动摩擦因数为 fs，均质圆柱体的质量为 M。不计绳重及定滑轮质量，当系统运动时，试求物块 A 和圆柱 体质心 C 的加速度 A a 和aC 。 解 此系统为二自由度系统，视 A 块的滑动摩擦力为主动力，可应用 动力学普遍方程求解。 （1）受力分析。以物块、柱体及 绳所组成的系统为研究对象。主动力 为物块和柱体的重力 mg 和 Mg，物块 A 的滑动摩擦力 Fs = fs mg。 A 块作直线运动，圆柱体作平面 运动。系统具有二自由度，取 xA及 xC为广义坐标，物块 A、柱体质心 C 的加速度以及圆 柱的角加速度分别为 A A a = x′′ ， C C a = x′′ ( ) ( ) C A C A x x r a a r = − = ′′ − ′′ 1 1 α （a） 可得系统的惯性力和惯性力偶矩分别为 IA A A F = ma = m x′′ ， IC C C F = M a = M x′′ ( ) ( ) IC C C A C A x x M r x x r M = J = M r ′′ − ′′ = ′′ − ′′ 2 1 1 2 1 2 α （b） （2）虚位移分析。当系统虚加惯性力后（见图 16-2），系统则处于虚平衡状态。此位 置，给 A 物块以虚位移 A δ x ，给 C 点以虚位移 C δ x ，圆柱体的虚转角则为 ( ) C A x x r δ ϕ = δ − δ 1 （c） （3）用动力学普遍方程求解。根据式（16-1），有 MgδxC − FS δxA − FIA δxA − FIC δxC − MIC δϕ = 0 （d） 将式（a）、（b）、（c）代入式（d），得 ( ) ( ) 0 1 2 1 C − S A − ′ A ′ A − C ′′ C − C ′′ − ′ A ′ ⋅ xC − xA = r M gδ x F δ x mx δ x Mx δ x M r x x δ δ 经整理后为 ( ) ( ) 0 2 1 2 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ′′ − ′′ − ′′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ′′ − ′′ − ′′ C C A C S A C A A Mg Mx M x x δx F mx M x x δ x （e） 由于 A δ x 和 C δ x 是彼此互为独立的虚位移，欲式（e）成立，则必须 B C MIC δφ δxC δxA Mg Fs FIA FN FIC xA xC 图 16-2 A