解(1)要求解空司的一个标准正交基,必须先确定此解空间的维数以及相应个数的线性 无关的解向(作为基底),一般来说解空间基底不唯一,因此所求标准正交基也不唯 因为秩r(B)=2,故解空间的维数为4-2=2又a1,a线性无关,故1,G2是解空间的基 A=a1=(12,3),1 4210 (A,A) (123)2 A√39 ,即为所求的一个标准正交基 (2)已知特征向量反求参数,可以直接利用定义A5=1,得到一个关于,a,b的方程 组,由此可解出A,a和b,A能否相似于对角阵更直接的判定方法是A的每个特征值的重数 C≥2)是否与其对应线性无关特征向量的个数一致 (I)由A2=1,得 1,即{5+a-3=几 1b-2-1 解得A=-1,a=-3,b=0 (Ⅱ)A=5-33.由 2 5A+3 3=(+ 0元+2 知几=-1是A的三重特征值.但秩r(-E-A=2,从而A=-1对应的线性无关特征 向量只有一个,故A不能相似于对角阵 4.(97105)设A是阶可逆方阵,将A的第i行和第/行对换后得到的矩阵记为B (1)证明B可逆; 解本题的关键是用初等矩阵来表示A、B之间的关系,若记E表示单位矩阵交换第 i行与第J行所得到的初等矩阵,则A的第行和第/行对换后的矩阵B=EA.注意,因 为是行变换,所以E应在左乘A (1因为4≠0及|B=-4≠0,故B可逆 (2)由B=EA