第5期 徐赵东，等：航天器中反作用轮干扰力仿真研究 883 果加以整理，同时根据图中各个谐波级次对应的曲 0.25 线的拟合度可以对振幅系数进行修正和取舍，结果 0.20 如表1所示，只取前3阶谐波级次所对应的谐波 0.15 级次。 表1振幅系数修正表 0.10 谐波级次h: 振幅系数C 修正系数C: 0.05 1.00 21.90 20.90 1.99 15.20 7.71 0.00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.18 13.40 13.40 转速/kr·min 3.84 11.20 (ah=1.00 舍弃 4.56 9.19 舍弃 0.08 0.07 5.04 7.79 舍弃 6.00 6.77 舍弃 0.06 6.60 5.96 舍弃 0.05 8.53 5.30 舍弃 0.04 9.36 4.78 舍弃 0.03 12.48 4.53 舍弃 0.02 0.01 4 0.00 反作用轮干扰力功率谱密度函数的 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.03.5 转速/Ckr·min 推导 (b)h=3.84 图3B-wheel径向轴力的振幅系数曲线 根据式(1)，并由于在[02π]范围内的随机变 量：和9，是相互独立的，得反作用轮干扰力的自 图4所示的是谐波级次：为1.99对应的 相关函数[-]如下 B-wheel径向轴力振幅系数曲线。图4可看出，在 R(t)=E[m(t)m(t-r)]= 1300~1900r/min千扰力的振幅激增。这是因为 当谐波频率和飞轮自身模态频率相同时，会发生共 ECsin()x 振。但在经验稳态线性模型中不考虑飞轮自身模态 sin(2mhif na (t+r)+i)]= 对干扰力谐波函数的影响，则在采用式(4)计算振幅 系数时应当去除这些点，表明飞轮的内部自身模态 2cEL1-a+22× 2 对干扰力也会产生一定的影响。 cos(2πh:fumx）- 0.18 。飞轮模态影响 sin(fsin(2)] (5) 0.16 O不考虑飞轮模态影响 0.14 根据期望定义得到式(6)的关系 0.12 "2n E[cos(2ot+2g)]= J。cos(2wt+2g) 0.10 云0 0 0.08 0 E[sin(2ot +2i)]= sm(2a+24)2云4=0 0.06 (6) 0.04 00 0.02 因此，自相关函数可表达为 0.000.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 R(r)= 转速/kr·min) 2cE[fo2hfr】 (7) 对式(5)进行傅里叶变换，假设飞轮转速是随机 图4h=l.99时B-wheel径向轴力的振幅系数曲线 变量，其概率密度函数为f,(u),欧拉公式如下 根据以上方法，在Matlab中绘制所有谐波级次 coS.I (ekteu) 1 (8) 所对应的干扰力-转速曲线。将计算的振幅系数结 根据式(8)得到自相关函数的变形为图３ Ｂｗｈｅｅｌ径向轴力的振幅系数曲线 图４ 所 示 的 是 谐 波 级 次 犺犻 为 １．９９ 对 应 的 Ｂｗｈｅｅｌ径向轴力振幅系数曲线。图 ４ 可看出，在 １３００～１９００ｒ／ｍｉｎ干扰力的振幅激增。这是因为 当谐波频率和飞轮自身模态频率相同时，会发生共 振。但在经验稳态线性模型中不考虑飞轮自身模态 对干扰力谐波函数的影响，则在采用式（４）计算振幅 系数时应当去除这些点，表明飞轮的内部自身模态 对干扰力也会产生一定的影响。 图４ 犺＝１．９９时 Ｂｗｈｅｅｌ径向轴力的振幅系数曲线 根据以上方法，在 Ｍａｔｌａｂ中绘制所有谐波级次 所对应的干扰力转速曲线。将计算的振幅系数结 果加以整理，同时根据图中各个谐波级次对应的曲 线的拟合度可以对振幅系数进行修正和取舍，结果 如表１ 所示，只取前 ３ 阶 谐 波 级 次 所 对 应 的 谐 波 级次。 表１ 振幅系数修正表 谐波级次犺犻 振幅系数犆犻 修正系数犆′犻 １．００ ２１．９０ ２０．９０ １．９９ １５．２０ ７．７１ ３．１８ １３．４０ １３．４０ ３．８４ １１．２０ 舍弃 ４．５６ ９．１９ 舍弃 ５．０４ ７．７９ 舍弃 ６．００ ６．７７ 舍弃 ６．６０ ５．９６ 舍弃 ８．５３ ５．３０ 舍弃 ９．３６ ４．７８ 舍弃 １２．４８ ４．５３ 舍弃 ４ 反作用轮干扰力功率谱密度函数的 推导 根据式（１），并由于在［０ ２π］范围内的随机变 量φ犻 和φ犼 是相互独立的，得反作用轮干扰力的自 相关函数［７８］如下 犚犿（τ）＝犈［犿（狋）犿（狋－τ）］＝ 犈［∑ 狀 犻＝１ 犆２ 犻犳４ 狉狑犪ｓｉｎ（２π犺犻犳狉狑犪狋＋φ犻）× ｓｉｎ（２π犺犻犳狉狑犪（狋＋τ）＋φ犻）］＝ ∑ 狀 犻＝１ 犆２ 犻犈［犳４ 狉狑犪｛１－ｃｏｓ（４π犺犻犳狉狑犪狋＋２φ犻） ２ × ｃｏｓ（２π犺犻犳狉狑犪τ）－ ｓｉｎ（４π犺犻犳狉狑犪狋＋２φ犻） ２ ｓｉｎ（２π犺犻犳狉狑犪τ）｝］ （５） 根据期望定义得到式（６）的关系 犈［ｃｏｓ（２ω狋＋２φ犻）］＝∫ ２π ０ ｃｏｓ（２ω狋＋２φ犻）１ ２π ｄφ＝ ０ 犈［ｓｉｎ（２ω狋＋２φ犻）］＝∫ ２π ０ ｓｉｎ（２ω狋＋２φ犻）１ ２π ｄφ＝ 烅 烄 烆 ０ （６） 因此，自相关函数可表达为 犚犿（τ）＝∑ 狀 犻＝１ 犆２ 犻犈［犳４ 狉狑犪ｃｏｓ（２π犺犻犳狉狑犪τ）］ （７） 对式（５）进行傅里叶变换，假设飞轮转速是随机 变量，其概率密度函数为犳狆（狌），欧拉公式如下 ｃｏｓ狓＝１ ２（犲犻狓 ＋犲－犻狓 ） （８） 根据式（８）得到自相关函数的变形为 第５期 徐赵东，等：航天器中反作用轮干扰力仿真研究 ８８３