a=e片+G) =e可cdr+G,)片d+C)-+G)-之+g, 由此少=.↓+9， dx x2 c:. 因此，原方程的通解为y=+C+C, (C,C2为任意常数)· 例4求微分方程202=y0y-1)满足初始条件川1=2,11=-1的特 解 解方程不显含，令P,广=出，则方程可化为 2P2=P d0r~0, 当p:0时号-己，于是G- 根据1=2,1=-1，知2=-1代入上式，得C=-1,从而 得到=山，积分得 =x+C,再由-2，求得C=0, 于是当P≠0时，原方程满足所给初始条件的特解为 当P=0时，得y=C(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包 含在解x中. 故原方程满足所给初始条件的特解为，一=，即y=1+ 3.二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法11 P(x)  1 d 1 3 d 1 e d 1 e ( x C x x x x x      ） = 1 ln 3 ln e d 1 e ( x C x x x    ）= 3 1 d 1 ( 1 x x C x x    ）= 1 1 ( 1 C x x   ）= x C x 1 2 1   ， 由此 x y d d = x C x 1 2 1   ，     x x C x y )d 1 ( 1 2 = 1 2 ln 1 C x C x   ， 因此，原方程的通解为 y = 1 2 ln 1 C x C x   （ 1 2 C ,C 为任意常数）. 例 4 求微分方程 2( ) ( 1) 2 y  y y  满足初始条件 2 y x1 ， 1 y x1  的特 解.解 方 程 不 显 含 x ， 令 y  P ， y P y P d d   ， 则 方 程 可 化 为 ( 1) d d 2 2  y  y P P P ， 当 P  0时 y P y P d 1 d 2  ，于是 2 1 P  C ( y 1) . 根据 2 y x1 ， 1 y x1  ，知 1 y y2   代入上式，得 1 C1   ，从而 得到 x y y d ( 1) d 2    ，积分得 2 1 1 x C y    ，再由 2 y x1 ，求得 0 C2  ， 于是当P  0时，原方程满足所给初始条件的特解为 x y  1 1 ， 当P  0 时，得 y  C (常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包 含在解 x y  1 1 中. 故原方程满足所给初始条件的特解为 x y  1 1 ，即 x y 1  1 . 3.二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法