三.单侧极限 函数∫在某x两侧变化趋势不一致的情况是经常发生的。有时,∫原来就只 定义于x0的一侧。这就需要用单侧极限来刻划自变量从x的一侧趋于x0时函数 值的变化趋势。 定义1.3.2如果存在实数A,对于任意给定的E>0,存在δ>0,使得当 d<x<x0时成立 If(x)-AK 则称A为∫(x)在x处的左极限,记作imf(x)=A或f(xo-0)=A 类似地可以定义f(x)在x处的右极限mf(x),即f(xo+0)。 关于函数的极限与左、右极限,显然存在以下关系。 定理13.6limf(x)=A的充要条件是 lim f(x)=lim f(x)=A x→x0-0 这就是说,极限存在等价于左、右极限同时存在且相等。 例1.3.9符号函数sgn在x=0处,显然有 sgn(x) 即左、右极限均存在,但不相等,因此 lim sgn(x)并不存在 关于函数的极限,还有一类重要的情况,即自变量趋于无限的情况。 四.自变量趋于无限时的极限 定义1.3.3如果对于任意给定的E>0,存在X>0,使得当x卜X时成立 f(x)-AK 则称x趋于无穷大时,f(x)以A为极限,记作 lim f(x)=A 例如,当充分大时,将与0充分接近,所以加、1 很多场合中,当x趋于正、负无穷大时,f(x)的变化趋势未必一致,这又 需要借助以下概念描述 定义1.3.4如果对于任意给定的E>0,存在X>0,使得当x>X时成立 f(x)-AK 则称x趋于正无穷大时,f(x)以A为极限,记作limf(x)=A 类似地,可以给出imf(x)的定义 关于以上几个概念,显然有类似于定理1.3.6的以下关系。 定理1.37lmf(x)=A的充要条件是 n f(x)=lim f(x)=A 例1.3.11讨论 lim arctan x是否存在。 解由反正切函数的性质,有 X→+三．单侧极限 函数 f 在某 0 x 两侧变化趋势不一致的情况是经常发生的。有时，f 原来就只 定义于 0 x 的一侧。这就需要用单侧极限来刻划自变量从 0 x 的一侧趋于 0 x 时函数 值的变化趋势。 定义 1.3.2 如果存在实数 A，对于任意给定的   0，存在   0 ，使得当 0 0 x   x  x 时成立 | f (x)  A|  ， 则称 A 为 f (x) 在 0 x 处的左极限，记作 0 0 lim xx  f (x)  A 或 f (x0  0)  A。 类似地可以定义 f (x) 在 0 x 处的右极限 0 0 lim xx  f (x) ，即 ( 0) f x0  。 关于函数的极限与左、右极限，显然存在以下关系。 定理 1.3.6 0 lim xx f (x) = A 的充要条件是 0 0 lim xx  f (x) = 0 0 lim xx  f (x) = A。 这就是说，极限存在等价于左、右极限同时存在且相等。 例 1.3.9 符号函数 sgn 在 0 x = 0 处，显然有 0 0 lim x  sgn(x)  1， 0 0 lim x  sgn(x) 1。 即左、右极限均存在，但不相等，因此 0 lim x sgn(x) 并不存在。 关于函数的极限，还有一类重要的情况，即自变量趋于无限的情况。 四．自变量趋于无限时的极限 定义 1.3.3 如果对于任意给定的   0，存在 X  0 ，使得当 | x | X 时成立 | f (x)  A|  ， 则称 x 趋于无穷大时， f (x) 以 A 为极限，记作 x lim f (x) = A。 例如，当|x|充分大时， x 1 将与 0 充分接近，所以 x lim x 1 = 0。 很多场合中，当 x 趋于正、负无穷大时， f (x) 的变化趋势未必一致，这又 需要借助以下概念描述。 定义 1.3.4 如果对于任意给定的   0，存在 X  0 ，使得当 x  X 时成立 | f (x)  A|  ， 则称 x 趋于正无穷大时， f (x) 以 A 为极限，记作 x lim f (x) = A。 类似地，可以给出 x lim f (x) 的定义. 关于以上几个概念，显然有类似于定理 1.3.6 的以下关系。 定理 1.3.7 x lim f (x) = A 的充要条件是 x lim f (x) = x lim f (x) = A。 例 1.3.11 讨论 x lim arctan x 是否存在。 解 由反正切函数的性质，有 x lim , 2 arctan  x 