lim arctan= 根据定理1.37, lim arctan x并不存在。 对于单侧极限和自变量趋于无限时的几类极限,定理1.3.2、定理1.3.3、定 理1.34及定理135的相应结论依然成立 例1.3.12求极限lim 6 解利用极限的四则运算法则得 lim 5x4+3 7 例1.3.13证明 lim 1 证首先证明lm1+-=e。对于任何正实数x,有(x]≤x<{x]+1,因 此,当x≥1时,有 [x]+1 利用lm1+-|=e,得到 x}+ 1+ e [x] [x]+1 同样地 lim 1 由夹逼定理,得到 其次,证明im1+1=e。为此,记y=-x。于是当x→∽0时,y→+, 注意到 所以 lim 1+ lm|1+x lim 2 arctan  x   。 根据定理 1.3.7， x lim arctan x 并不存在。 对于单侧极限和自变量趋于无限时的几类极限，定理 1.3.2、定理 1.3.3、定 理 1.3.4 及定理 1.3.5 的相应结论依然成立。 例 1.3.12 求极限 5 3 7 2 6 lim 4 3 4 2       x x x x x x 。 解 利用极限的四则运算法则得 5 1 3 1 7 5 2 6 1 lim 5 3 7 2 6 lim 3 4 2 4 4 3 4 2               x x x x x x x x x x x x 。 例 1.3.13 证明 x lim e x x         1 1 . 证 首先证明 x lim e x x         1 1 。对于任何正实数 x，有 [x]  x  [x]1 ，因 此，当 x  1 时，有 [ ] [ ] 1 [ ] 1 1 1 1 [ ] 1 1 1                              x x x x x x 。 利用 n lim e n n         1 1 ，得到 x lim e x x x x x x                                    [ ] [ ] 1 1 [ ] 1 1 1 [ ] 1 1 lim 1 [ ] 1 1 1 。 同样地， x lim e x x x x x x                               [ ] 1 1 [ ] 1 lim 1 [ ] 1 1 [ ] 1 [ ] 。 由夹逼定理，得到 x lim e x x         1 1 。 其次，证明 x lim e x x         1 1 。为此，记 y  x 。于是当 x  时， y   ， 注意到 x y y y y x y                             1 1 1 1 1 = y y           1 1 1 ， 所以 x lim y y x x y                    1 1 lim 1 1 1