银川科技职业学院《高签数学》救未 第土二童常微分方程 S12.1微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对 客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具 有重要意义.在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据 问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的 关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数来， 这就是解微分方程 例1一曲线通过点(L,2),且在该曲线上任一点M(x,)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程 解设所求曲线的方程为yyx).根据导数的几何意义，可知未知函数 =x)应满足关系式（称为微分方程） 密-2x (1) 此外，未知函数=x)还应满足下列条件： =1时，y=2,简记为y儿-1=2 (2) 把(1)式两端积分，得（称为微分方程的通解） y=∫2xk,即=x2+C, (3) 其中C是任意常数 把条件“x=1时，=2”代入(3)式，得 2=12+C, 由此定出C=1.把C=1代入(3)式，得所求曲线方程（称为微分方程满足条件 y以=1=2的解)： =x2+1. 例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶；当制动时列 车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这 段时间里行驶了多少路程？ 解设列车在开始制动后1秒时行驶了s米.根据题意，反映制动阶段列车 运动规律的函数S=()应满足关系式 祭04 (4) 此外，未知函数s=s()还应满足下列条件： D时，-0，=密-20.简记为小0外20 (5) 把(4)式两端积分一次，得 第2页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 2 页 §12 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对 客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具 有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据 问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的 关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例 1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为 yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2  (1) 此外 未知函数 yy(x)还应满足下列条件 x1 时 y2 简记为 y|x12 (2) 把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)  y 2xdx  即 yx 2 C (3) 其中 C 是任意常数 把条件“x1 时 y2”代入(3)式 得 21 2 C 由此定出 C1 把 C1 代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 y|x12 的解) yx 2 1 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列 车获得加速度04m/s2  问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这 段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车 运动规律的函数 ss(t)应满足关系式 0.4 2 2  dt d s  (4) 此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件 t0 时 s0  20 dt ds v  简记为 s|t0=0 s|t0=20 (5) 把(4)式两端积分一次 得