VoL.26 No.4 印红云等：广义Lorenz和Chen系统混沌同步控制算法 ·447· 4(④=-(25a+10e,-e)-e,-25(a2-a-x) 40 (a)Lorenz系统 wa(0=-(28-35a)e,-29a1e,+x五-xz+ 20 35(a2-ax2-29(a2-ay2 (7) 0 w(t)=(8+a)e,/3+(a2-az/3-xy+xy-e -20 把控制函数（⑦）代入误差系统(6)并整理得 e=-e, 48 (b)Chen系统 e,=-e, (8) 20H e.=-e. 从上式可看出，e,=0,e,=0,e.=0显然就是方 -20 程(8)的解，且该解与驱动系统的参数α，以及响应 40 40 系统的参数a,均无关，所以只要误差系统稳定， (c) 20 就能实现任意两个不同参数条件下统一系统的 0 混沌同步控制. -20 2.3混沌同步的稳定性证明 40 取李雅普诺夫函数V为： 0500 15002500 35004500 V(ce) U次 (9) 图1 Lorenz和Chen系统x分量的同步控制结果 显然V是正定函数，并有： Fig.1 Synchronization results of variable x in Lorenz sys- V-eerree,ree. (10) tem and Chen system 把式(8)代入式(10)得： v=-e-eg-e≤0 (11) 60 (a)Lorenz系统 等号在e.=0,e,=0,e,=0时成立，显然是负定函 40 数.由李雅普诺夫函数稳定性判别法可知，误差 10 系统（⑧）在原点渐近稳定，因而两个统一系统能 够达到稳定的混沌同步. 60 b)Chen系统 40 3统一系统同步控制仿真 20 3,1 Lorenz系统与Chen系统同步控制 0 当驱动系统(2)中参数a,=0时，该统一系统 60 (c) 为Lorenz系统，当响应系统(4)中参数a2=1时，该 40 统一系统为Chen系统.利用四阶龙格一库塔算法 20 在MATLAB上进行仿真研究，取驱动系统初始条 件为x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1,响应系统初始条件 050015002500 35004500 为(0)=2，(0)=2，z0)=2,步长h=0.001.驱动系 利次 统和响应系统各自迭代500步后加入自适应控制 图2 Lorenz和Chen系统欧氏距离的同步控制结果 函数u(),42(),()进行控制，当迭代到5000步时 Fig.2 Synchronization results of Euclidean distance in 驱动系统和响应系统全部变量均达到同步，其同 Lorenz system and Chen system 步误差小于0.01.记 4结论 R=Vxty+z,ex=V(x2-x)+(y:-y)+(z2-z), 其仿真结果如图1和图2所示， 借助于李雅普诺夫稳定性理论，本文提出了 3,2广义Lorenz系统与广义Chen系统同步控制 一种自适应混沌同步控制方法，通过构造适当的 当驱动系统(2)参数α=0.5时，该统一系统是 控制函数，从理论上保证了混沌同步控制的稳定 广义Lorenz系统：当响应系统(4)参数a=0.9时， 性，并用MATLAB进行了仿真，实现了Lorenz系 该统一系统是广义Chen系统.其他仿真条件同 统和Chen系统以及广义Lorenz系统和广义Chen 上，仿真结果如图3和图4所示. 系统的混沌同步控制.本文的研究说明，只要所印红 云 等 广义 ’ 和 。 系统 混 沌 同步控制算法 一 马一 动一氏一 氏 一 ， 协一为 姚 一 一 ， 氏一 马十工 一 ， 山 一 ， 一 伪一 加 场 ， 习 仇 一 卫 几乃 一工公、 少 一氏 把控制 函 数 代 入 误 差 系 统 并整 理 得 系统 从 一 一“︸ 已 一 易 马 一 一 从 上 式可 看 出 ， 氏 ， 马 ， 氏 显 然 就 是方 程 的解 ， 且 该解 与驱 动 系 统 的参 数“ ，以及 响应 系统 的参数 均 无 关 ， 所 以只 要 误 差 系 统 稳 定 ， 就 能 实现 任 意 两 个 不 同参 数 条件 下 统 一 系 统 的 混 沌 同步 控 制 混 沌 同步 的稳 定性 证 明 取 李 雅 普 诺 夫 函 数 犷为 毛 一 八 。 。 系统 厂 一 李 ‘ 十、 。 对 次 显 然 是 正 定 函数 ， 并有 犷二 价氏 马离十‘ 户 之 把 式 代入 式 得 夕 一 代一才一式‘ 等 号在氏 ， 马 ， 时成 立 ， 显 然 夕是 负定 函 数 由李 雅 普诺 夫 函 数 稳 定性 判 别 法 可 知 ， 误 差 系统 在 原 点渐近 稳 定 ， 因而 两 个 统 一 系 统 能 够 达 到 稳 定 的混 沌 同步 图 和 系统 分 量 的 同 步控制结 果 · 七 柱 代 认 系统 一 户 、 夕 一 系统 一 … ，石了︸丈 统 一 系统 同 步控 制 仿真 系统 与 系统 同步控 制 当驱 动 系 统 中参数 一 时 ， 该 统 一 系 统 为 。 系统 ， 当响应 系 统 中参 数氏 时 ， 该 统 一 系统 为 系统 利 用 四阶龙格 一 库 塔 算法 在 上进 行 仿真研 究 ， 取 驱 动 系 统初始条 件 为 ， ，幻 ‘ ， 响应 系 统初始条件 为丸 ， 两 ， 步 长 驱 动 系 统和 响应系统 各 自迭代 步后加入 自适 应控 制 函数 ， 处 ， 场 进 行 控 制 ， 当迭 代 到 步 时 驱动 系 统和 响应 系 统全 部 变 量均达 到 同步 ， 其 同 步误 差 小 于 记 丫分少份 ， ‘ 丫 一 梅 一丁 一 ，， 其 仿 真 结 果如 图 和 图 所 示 广 义 系统 与广义 系统 同 步控 制 当驱 动 系统 参 数 、 时 ， 该 统 一 系统 是 广 义 系 统 当响应 系 统 参 数山 时 ， 该 统 一 系 统 是 广 义 系 统 其 他 仿 真 条件 同 上 ， 仿 真 结 果 如 图 和 图 所 示 心 次 图 和 系统 欧 氏距 离的 同步控 制结 果 五 俪 扭 代肚 结论 借 助 于 李 雅普诺 夫 稳 定性理 论 ， 本文提 出 了 一种 自适应 混沌 同步控 制 方 法 ， 通 过 构造 适 当 的 控制 函数 ， 从理论 上 保 证 了混 沌 同步控 制 的稳 定 性 ， 并用 州 汀 进 行 了仿 真 ， 实现 了 系 统 和 系 统 以及 广 义 系 统 和 广 义 系 统 的混 沌 同步 控 制 本 文 的研 究 说 明 ， 只 要所