因为{xn}是有界数列,应用 bolzano- Weierstrass i定理,存在收敛子列 imxn=5,且ξ∈[a,b]。 考虑不等式 a≤f(xn)<a+-,k=1,2,3,…, 令k→∞,由极限的夹逼性与f(x)在点E的连续性,得到 ∫(5)=a 这说明f(x)在[a,b上取到最小值a,即a=minR, 同样可以证明存在n∈abl,使得f(m)=B=maxR 证毕因为{ x n }是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 { xnk }： lim k→ xnk = ，且 [a,b]。 考虑不等式  ( ) k n   f x  + 1 nk ， k = 1,2,3，…， 令k→∞，由极限的夹逼性与 f (x) 在点 的连续性，得到 f ( )  = 。 这说明 f (x) 在[a,b]上取到最小值 ，即 min = Rf 。 同样可以证明存在 [ , ] a b ，使得 f () =  = max Rf 。 证毕