Vx(G)=fVxG+VfxG 解在直角坐标中 G=化告e竖*空号 2G,.0G】 ya正 所以 NVxG+WxG-e.lG.+/)-(G,+ dx a e1g.c+ec2.ac+ e)_aG1-vxo Ox dy 1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明V×(V)=0及 V(V×A)=0,试证明之。 解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S,由斯托克斯定理有 (VxVwrdS-fVudI-d-fdu-0 由于曲面S是任意的，故有 V×(V)=0 (2)对于任意闭合曲面S为边界的体积π，由散度定理有 「V(V×A)dr=④(V×A)dS=(V×A)dS+(VxA)dS 其中S和S,如题127图所示。由斯托克斯定理，有 [(×A)dS=④Adl. 「(V×AdS=ΦAdl 由题127图可知C和C,是方向相反的同-回路，则有∮d1=-∮Ad 所以得到 [V-(VxA)dr=A-dl+A-dI=-A-dl+A-dI=0 由于体积是任意的，故有7(V×A)=0 题1.27图 =  +   ( ) f f f G G G 解 在直角坐标中 [ ( ) ( ) ( )] z z y y x x x y z G G G G G G f f y z z x x y        = − + − + −       G e e e   = f G [ ( ) ( ) ( )] x z y y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y       − + − + −       eee 所以 f f  +   = G G [( ) ( )] z y x z y f f G G G f G f y y z z     + − + +     e [( ) ( )] x z y x z f f G G G f G f z z x x     + − + +     e [( ) ( )] y x z y x f f G G G f G f x x y y     + − + =     e ( ) ( ) [ ] z y x fG fG y z   − +   e ( ) ( ) [ ] x z y fG fG z x   − +   e ( ) ( ) [ ] y x z fG fG x y   − =   e ( ) fG 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明    = ( ) 0 u 及   = ( ) 0 A ，试证明之。 解 （1）对于任意闭合曲线 C 为边界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有 ( ) d d d d 0 S C C C u u u l u l   =  = = =      S l 由于曲面 S 是任意的，故有    = ( ) 0 u （2）对于任意闭合曲面 S 为边界的体积  ，由散度定理有 1 2 ( )d ( ) d ( ) d ( ) d  S S S    =   =   +        A A S A S A S 其中 1 S 和 2 S 如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有 1 1 ( ) d d S C   =   A S A l ， 2 2 ( ) d d S C   =   A S A l 由题 1.27 图可知 C1 和 C2 是方向相反的同一回路，则有 1 2 d d C C = −   A l A l 所以得到 1 2 2 2 ( )d d d d d 0  C C C C   = + = − + =       A A l A l A l A l 由于体积  是任意的，故有   = ( ) 0 A n1 C1 C2 2 S 1 S n2 题 1.27 图