f(x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知， 用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范 围有限，对∫"(x)=0、f'(x)及∫"(x)同时不存在的点不能使用. 3.求函数的凹向及拐点的方法 例4求函数y=ln(1+x2)的凹向及拐点. 解函数的定义域(-o,+), y'= 2x 1+r2 y=21+x)-2x2x=201-x2 (1+x2)2 (1+x2)2 令y"=0,得y=1, 列表 (-1, (-0,-1) -1 1 (L,+0) 1) 0 0 拐点 拐点 ∩ 由此可知，上凹区间(-1,1)，下凹区间(-0，-1)UL,+∞)，曲线的拐点 是（±1，ln2) 小结求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使y”不存在的点取得. 99 f (x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例 3 知， 用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范 围有限，对 f (x)  0、 f (x)及 f (x)同时不存在的点不能使用. 3. 求函数的凹向及拐点的方法 例 4 求函数 ln(1 ) 2 y   x 的凹向及拐点. 解 函数的定义域 (,)， , 1 2 2 x x y    2 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) 2 2 x x x x x x y          ， 令 y  0, 得 y  1， 列表 由此可知，上凹区间(1,1) ,下凹区间(,1) (1,) ，曲线的拐点 是(1,ln 2) . 小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定 理即可，注意拐点也可在使 y不存在的点取得. x (,1)  1 (  1, 1) 1 (1,) y  0 + 0  y  拐点  拐点 