例134.1设D={(x,y)a2≤x2+y2<+}(a>0)。记r=√x2+y2 f(x,y)=p(p>0) 为定义在D上的函数。证明积分/(xy)cy当p>2时收敛;当p≤2时 发散 证取rn={(x,y)x2+y2=p2}(p>a),它割出的D的有界部分 为 D={(x,y)a≤x2+y2≤p} 利用极坐标变换得到 lI f(x, y )dxdy de p…-pAr=2 Irdr 令p趋于正无穷大,最后一个积分当p>2时收敛,当p≤2时发散。由 引理13.4.1即可得知所需的结论。 从以上推导可以看出,当D为扇形区域 {a≤r<+o,a≤0≤B(a,BE[0,2π 时,上述结论也成立。例 13.4.1 设 2 2 2 D =  +  + {( , ) | } x y a x y （a  0）。记r = x + y 2 2 ， f x y r ( , ) = p ( p  ) 1 0 为定义在D上的函数。证明积分 f x y x y ( , )d d  D 当 p  2时收敛；当 p  2时 发散。 证 取 2 2 2 {( , ) | } ( ) x y x y a     = + =  ，它割出的D的有界部分 为 2 2 2 2 {( , ) | } x y a x y D =  +   。 利用极坐标变换得到 2π 1 1 0 ( , )d d d d 2π d p p a a f x y x y r r r r     − − = =     D 。 令  趋于正无穷大，最后一个积分当 p  2时收敛，当 p  2时发散。由 引理 13.4.1 即可得知所需的结论。 从以上推导可以看出，当D为扇形区域 a r   +    , ( , [0, 2      π]) 时，上述结论也成立