2x-6y-2层-2袋-0 ① -6+20-2r-2%-2等-0 E 色.-y=0 ◆a+ .3x+10y-0 解之得-3少=0 68o年 [x=9 x=-9 将x=3y,:=y代入x-6y+10y2-2z-2+18=0可得y=3或y=-3， e=3 ==-3 即点(9,3)与点(9，-3)是可能的极值点，下面判定是香为极值点 在(1)式两边对x求偏导，得 2-2袋-2袋=0 在(1)式两边对y求偏导，得 6-袋-需-跨森0 在(2)式两边对'求偏导，得 0-等0， 所以 4鼠6器n片c-引号 故4C-广-石0，又4-名0，从而点Q3)是：化)的极小值点，且极小值为 9,3)=3. 类似地由 故4C-B=6>0,又A=-名0，所以点(-9-)是在列的极大值点，且极大值为 (-9,-3)=-3. 综上所述，点(9,3)是(x,y)的极小值点，且极小值为(9,3)=3：点(9，-3)是(x,)的 极大值点，且极大值为(-9，-3)=-3. 例39求函数u=y2:在条件x+y+:=a(其中a,xy,:∈R)下的条件极值. 分析条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值，或用拉格朗日乘法来求。 2 6 2 2 0 (1) 6 20 2 2 2 0 (2) z z x y y z x x z z x y z y z y y   − − − =     − + − − − =   令 3 0 3 10 0 z x y x y z z x y z y y z  − = =   +   − + −  = =  + ，解之得 3 0 3 10 0 x y x y z  − =  − + − = 即 x y 3 z y  =   = ． 将 x y = 3 ， z y = 代入 2 2 2 x xy y yz z − + − − + = 6 10 2 18 0 可得 9 3 3 x y z  =   =   = 或 9 3 3 x y z  = −   = −   = − ， 即点 (9,3) 与点 ( 9, 3) − − 是可能的极值点，下面判定是否为极值点． 在（1）式两边对 x 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 z z z y z x x x      − − − =        ， 在（1）式两边对 y 求偏导，得 2 2 6 2 2 2 2 0 z z z z z y z x x y y x x y      − − − − − =        ， 在（2）式两边对 y 求偏导，得 2 2 2 2 2 20 2 2 2 2 2 0 z z z z z y z y y y y y        − − − − − =          ， 所以 2 2 2 2 2 (9, 3, 3) (9, 3, 3) (9, 3, 3) 1 1 5 , , 6 2 3 z z z A B C x x y y    = = = = − = =     ． 故 2 1 0 36 AC B − =  ，又 1 0 6 A =  ，从而点 (9,3) 是 z x y ( , ) 的极小值点，且极小值为 z(9,3) 3 = ． 类似地由 2 2 2 2 2 ( 9, 3, 3) ( 9, 3, 3) ( 9, 3, 3) 1 1 5 , , . 6 2 3 z z z A B C x x y y − − − − − − − − −    = = − = = = = −     ． 故 2 1 0 36 AC B − =  ，又 1 0 6 A = −  ，所以点 ( 9, 3) − − 是 z x y ( , ) 的极大值点，且极大值为 z( 9, 3) 3 − − = − ． 综上所述，点 (9,3) 是 z x y ( , ) 的极小值点，且极小值为 z(9,3) 3 = ；点 ( 9, 3) − − 是 z x y ( , ) 的 极大值点，且极大值为 z( 9, 3) 3 − − = − ． 例 39 求函数 2 3 u xy z = 在条件 x y z a + + = （其中 a x y z R , , , +  ）下的条件极值． 分析 条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值，或用拉格朗日乘法来求．