第12进向量的内积与向组正交化的二般方法 63· 由此解得三2从而可得基础解系;=(-105-=0,-1)5,42正 x3=-x4 好正交取a3=列1=(-1,1,0,0)2,a4=52=(0,0,-1,1)2.则a1,a2,a3,a4两两正交 解法2因a1,ax2已正交(a1a2=0),故a1,a2线性无关可取两个向量B3=(1,0 0,0),B4=(0,0,1,0),使a1,a2,B3,B4线性无关然后,再将a1,a2,B3,B4正交化.为 此,按施密特正交化方法 111 [a1,B3].[a2,B3 区1,C1 阝3 =(1,0,0,0)-1(1,1.1.1 2’22,2 2,-2,0.0), [a1,B.1a,-{a2,B]a,-[a,pB1 C:, Ba a2-0 =(0,0,1,0)- 2(2号,2)+(2-2) 0,0 显然,解法1比解法2较简便,这是因为恰好方程组Ax=0的基础解系中两个解向量相 互正交.但解法2是一种普遍适用的方法 例4已知∝1=(1,1,-1),试求一组非零向量a2,a3,使a1,a2,a3两两正交 解a2,a3应满足方程组a1x=0,即 它有基础解系与1=(-1,1,0),2=(1,0,1)2,显然1,2不正交故仍要正交化,令a2= 51,52 [51,51] 51=5 2(-1,20=(22-1) 则a1,a2,a3两两正交