§2线性算子空间和共轭空间 在这-节中,我们讨论线性赋范空间上线性有界算子全体和 线性连续泛函全体所成的空间 Ⅰ.线性有界算子全体所成空间 设X和Y是两个线性赋范空间,我以(X→Y)表示由X 到y中线性有界算子全体.当A和B属于图(x→1),是所讨论 数域中的数时,定义(x→Y)中加法运算及数乘运算如下:对任 何xK,令 (A+ B)x=ArF Bx, (aAE=aA 下面证明(X→Y)按土述线性运算及算子范数成为线性赋 范空间.事实上,如果A,B∈缃(X→>Y),则对任何x∈x,由算 子加法定义 l(A+B)x!=1Ax+Bx≤Ax+|Bxl≤|Az+Blr (A+BIze 由于A及B是有界算子,所以4·+B<∞,由此可知A+B∈ (X→>),并且成立不等式 1A+B≤A+1B 又对任何数a,显然有 JaAl= sup I(A)x=! sup aAa=|a sup Axh=lai 4 由此得到a4(X→>Y),且|aA=|a|A".最后A=0的充要 条件为对于任何x∈x,Ax=0,即A=0,因此(x→Y)按上述加 法及数乘运算和算子范数成为线性赋范空间 定理I当Y是 Banach空间时,图(→)也是 Banach空 证明设{n}-1为(X→Y)中的柯西点列,则由柯西点列51