定义,对任何正数e>0,存在自然数N,当n,m>N时, 4Tn…Tm< 于是对每个x∈X,当n,m>N时,成立 IT,r-Tma-A(TTn)xsITn-Tm11x1<e a, (2) 所以当x個定时,点列{Tx}1是Y中的柯西点列,由Y的完备性, 存在￥,使T→y,(m→>∞).作X到Y中算子T如下:对每个 x∈X,令 Ta:y= limT,r, 容易知道T是X到Y中的线性箅子,在(2)中,令m>如,由范数连 续性,得到:当n>N时,对X中所有x成立 Pnx-Trl≤lx, 由于ε不依赖于x,所以 T-Tl=sup(T-7)z|≤ (3) IyH=l 即T一T∈(X→Y),又因(X→Y)是线性空间,所以 T=T,÷(T一T.)∈(X→Y), 并由(3),知im一T=0,这就证明了闭(x→)是 Banach空 间,证毕 设、(Z→Y),B(X→>团),令 (AB)x=A(Bx),x∈X 显然AB是线性算子,称为B与A的乘积.又对每个∈X,因为 (AB)|="A(Bx)≤!A匮Br≤AB!x, 所以!AB≤A!!B<3,即AB∈(X→Y) 般,设X是线性赋范空间,如果在X中定义了两个向量的乘 积,并且满足 则称X是赋范代数,当X完备时,则称X为 Banach代数.由定理 1知闭(X→X)当x完备时是 Banach代数52