银川科技职业学院《高等数学》救 第十章曲线积分和曲面积分 §10.2对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功： 设一个质点在xOy面内在变力Fx,y=P(x,y)i+Q(x,yi的作用下从点A沿光 滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功 用曲线L上的点A=A0,A,A2,,An1,A=B把L分成n个小弧段， 设A=(x,)有向线段4A的长度为△%，它与x轴的夹角为，则 4A1={cosT,sin TAs(k=0,1,2,,n-1). 显然，变力Fx,y)沿有向小弧段A4所作的功可以近似为 F(x)A=P(xy)costk+0(xky)sin tlAsk 于是，变力Fx,y)所作的功 W)cosr+)sins 从而 W=[,[P(x,y)cosr+(x,y)sin rlds 这里=x,),{cosx,sint是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L分成n个小弧段：L,L2,,Lm 变力在L,上所作的功近似为： F(5,)△s=P(5,7)△x+Q(5,7i)Ay; 变力在L上所作的功近似为： )A+A i=1 变力在L上所作的功的精确值： W=Iim∑P5,7)△x+Q5,7,)Ay], 其中元是各小弧段长度的最大值. 提示： 用△s={△x,△}表示从L的起点到其终点的的向量.用△表示△的模 对坐标的曲线积分的定义： 定义设函数x,)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1, 第6页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 6 页 §102 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功 设一个质点在 xOy 面内在变力 F(x y)P(x y)iQ(x y)j 的作用下从点 A 沿光 滑曲线弧 L 移动到点 B 试求变力 F(x y)所作的功 用曲线 L 上的点 AA0 A1 A2    An1 AnB 把 L 分成 n 个小弧段 设 Ak(xk  yk) 有向线段  Ak Ak1 的长度为sk 它与 x 轴的夹角为 k  则 k k k k k A A  s   {cos ,sin } 1   (k0 1 2    n1) 显然 变力 F(x y)沿有向小弧段 AkAk1  所作的功可以近似为 k k k k k k k k k k k x y A A  P x y Q x y s   ( , ) [ ( , )cos ( , )sin ] 1 F    于是 变力 F(x y)所作的功       1 1 1 ( , ) k k k k n k W F x y A A       1 1 [ ( , )cos ( , )sin ] n k k k k k k k k P x y  Q x y  s  从而    L W [P(x, y)cos Q(x, y)sin]ds 这里 (x y) {cos sin}是曲线 L 在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量 把 L 分成 n 个小弧段 L1 L2    Ln 变力在 Li 上所作的功近似为 F(i  i)siP(i  i)xiQ(i  i)yi  变力在 L 上所作的功近似为 [ ( , ) ( , ) ] 1 i i i n i i i i  P x Q y       变力在 L 上所作的功的精确值 lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i W   P x Q y         其中是各小弧段长度的最大值 提示 用si{xi yi}表示从 Li 的起点到其终点的的向量 用si 表示si 的模 对坐标的曲线积分的定义 定义 设函数 f(x y)在有向光滑曲线 L 上有界 把 L 分成 n 个有向小弧段 L1