解设L,BC的中点，则证=号（正+AC).在线段AL上取O点，A0=号立=专（正+AC, 则O点在△ABC的内部，证 0员+0丽+00=0+(01+A+(o+4C=30A+A正+AG =-(A花+AC)+AB+AC=0. 8.设A,B,C,D,一个四面体的四个顶点，M,N分别/边AB,CD的中点.证明 MN=号(AD+BC). 证明1图， C成=C成+.C示=c币， 所以 N=m-Cm=动-20i+0=而+0. 第8题图 第9题图 9.设M,1行四边形ABCD的中心O,任意一点.证明： 0A+0i+0元+0品=40. 证明，图，因为 O=号oA+0C,O=号(oi+0i, 所以 0+i+0元+0i=4m. 10.设ABCD11行四边形，PQ分别边BC,CD的中点.证明APAQ与对角线BD相交于 E,F,而、BD三等分. 证明设花=元，币-可，则 苏=AD-店=6- 币=花+就=元+2不， 0-而+号元-万+2元 又设 正=k莎(k>0),证=m40(m>0) 多 正=ka+专方，证=m+0云 正=A正+i=云+t(万-a)=(1-)云+t万t>0), 3: LBC , J −→AL = 1 2 ( −→AB+ −→AC). ktxALyzO, ' −→AO = 2 3 −→AL = 1 3 ( −→AB+ −→AC), J O k 4ABC {|. }S: −→OA + −→OB + −→OC = −→OA + (−→OA + −→AB) + (−→OA + −→AC) = 3−→OA + −→AB + −→AC = −( −→AB + −→AC) + −→AB + −→AC = 0. 8.  A, B, C, D Hfllf~, M, N 8 AB, CD . ST: −−→MN = 1 2 ( −→AD + −→BC). :  , −−→CM = 1 2 ( −→CA + −→CB), −−→CN = 1 2 −→CD, #$ −−→MN = −−→CN − −−→CM = 1 2 −→CD − 1 2 ( −→CA + −→CB) = 1 2 ( −→AD + −→BC). ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( s s s s s `                ?  XQQRQQQQQQQ
                        QP ab \ & \& \& ] & \ ' \& \&  M M M M L M M M M L M M M M L M M B D C A M N ￾ 8
010010010100100100 10 01010 0100100 7                 Puuuuuu               7 uuuuuuP  '^\ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \ \ \ ] \ \ \  A C B D M O ￾ 9
9.  M  l86 ABCD , O ￾
H. ST: −→OA + −→OB + −→OC + −→OD = 4−−→OM. :  , !" −−→OM = 1 2 ( −→OA + −→OC), −−→OM = 1 2 ( −→OB + −→OD), #$ −→OA + −→OB + −→OC + −→OD = 4−−→OM. 10.  ABCD  l86, P, Q 8 BC, CD . ST AP, AQ B5t BD e< E, F, %v BD 4V. :  −→AB = −→a , −→AD = −→b , J −→BD = −→AD − −→AB = −→b − −→a , −→AP = −→AB + 1 2 −→BC = −→a + 1 2 −→b , −→AQ = −→AD + 1 2 −→DC = −→b + 1 2 −→a . Q −→AE = k −→AP (k > 0), −→AF = m −→AQ (m > 0), J −→AE = k −→a + k 2 −→b , −→AF = m −→b + m 2 −→a . q −→AE = −→AB + t −→BD = −→a + t( −→b − −→a ) = (1 − t) −→a + t −→b (t > 0). · 3 ·