可见,初等函数在其定义域内有原函数;若∫(x)在区间I上有原函数,则f(x)在区间 I上有介值性 例2已知F(x)为f(x)=2x的一个原函数,F(2)=5.求F(x) 2.不定积分—原函数族::定义,不定积分的记法,几何意义 例3 arctan +c x dx=-x+c 3.不定积分的基本性质:以下设f(x)和g(x)有原函数 )(f(x)dx)=f(x),df(x)x=f(x)dr.(先积后导,形式不变) )jf(xk=f(x)+c,j4(x)=fx)+c.(先导后积多个常数) )a≠0时,jaf(x)x=!「f(x)d (4)」(f(x)±g(x)dtx=f(x)dr±g(x)dh 由(3)、(4可见,不定积分是线性运算,即对Va,B∈R,有 ∫((x)+8(x)k=a(x)+(g(x 当a=β=0时,上式右端应理解为任意常数.) 例4「f(2x-1)d=x3+x+c.求f(1) (f(1)=2) 不定积分基本公式:基本积分表P37238公式1-17 例5 dx 三.利用初等化简计算不定积分:参阅[4P81 例6P(x)=2ax”+ax“+…+an1x+an,求「P(x)dk 例7 (x2-1+ x2+1 1+x可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 在区间 I 上有原函数, 则 在区间 上有介值性. xf )( xf )( I 例 2 已知 为xF )( xf )( = 2x 的一个原函数, F )2( =5 . 求 xF )( . 2．不定积分—— 原函数族：: 定义, 不定积分的记法, 几何意义. 例 3 ∫ += + carctgx x dx 2 1 ; ∫ += cxdxx 2 3 3 1 . 3．不定积分的基本性质: 以下设 和 有原函数 xf )( xg )( . ⑴ ( ) ∫ ∫ = = ′ )()( ),( )( dxxfdxxfdxfdxxf . (先积后导, 形式不变). ⑵ . (先导后积, 多个常数) ∫ ∫ ′ += )()( ,)()( += cxfxdfcxfdxxf ⑶ α ≠ 0时， ∫ ∫ = αα dxxfdxxf .)()( ⑷ ∫ ∫ ∫ =± ± dxxgdxxfdxxgxf .)()())()(( 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对∀α β ∈ , R , 有 ∫ ∫ ∫ + βα ))()(( = α + β dxxgdxxfdxxgxf .)()( ( 当α β == 0时,上式右端应理解为任意常数. ) 例 4 ∫ ++=− cxxdxxf 3 3 1 )12( . 求 f ) 1 ( . ( f ) 1 ( =2 ). 二. 不定积分基本公式: 基本积分表. P237—238 公式 1—17. 例 5 ∫ .3 xx dx . 三．利用初等化简计算不定积分: 参阅[4]P181. 例 6 )( 0 n 1 n−1 " n−1 ++++= axaxaxaxP n . 求 ∫ )( dxxP . 例 7 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +−= + + .) 1 2 1( 1 1 2 2 2 4 dx x dx x x x . 85