从而 f(x)=「f(x) 6.设f(nx) 求「f x 解令t=lnx, 则x=e,如h(1+),于是 f(xdx= In(1+e) d ln(1+e2) dx In(1+ In(1+er d e (e +lIn(+e)+x+C 7.求不定积分∫。与 解记=∫ sInx 12 则 sin x+ cos x sin x+ cos x 4+1==x+C,1-1=413+93=mmx+cosx+C2, 于是 (x+In sin x+ cos xp+C,I (x-In sin x+cos x)+C 8.求下列不定积分的递推表达式(n为非负整数): (1)Ln=sin”xdhx (2)Ln=∫ In=∫ (6)In (7)In dx (8)In 解(1) I n= sin"xdx=-"-xd cos x=-sin"-xcosx+(n-1)sin"- xdx x cosx+(n +(n-1(1n2-Ln), 于是从而 f (x) = 1 2 ( ) ( 2 ) ln 1 1 f x dx x dx x x C x ′ = − = − − − + − ∫ ∫ 。 6．设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，求∫ f (x)dx 。 解 令t = ln x，则 t t t e e x e f t ln(1 ) , ( ) + = = ，于是 ∫ f (x)dx = ∫ ∫ − = − + + x x x x dx e de e e ln(1 ) ln(1 ) = ∫ + + + − − dx e e e e e x x x x x 1 ln(1 ) ln(1 ) 1 ln(1 ) ln( 1) 1 x x x x x x x e e de e C e e e − − − + + = − − = − − + + + ∫ ( 1)ln(1 ) x x e e − = − + + + x +C 。 7. 求不定积分∫ + dx x x x sin cos cos 与∫ + dx x x x sin cos sin 。 解 记I1=∫ + dx x x x sin cos cos ，I 2= ∫ + dx x x x sin cos sin ，则 1 I + I 2= 1 dx = +x C ∫ ， 1 I 2 − I = 2 (sin cos ) ln sin cos sin cos d x x x x C x x + = + + + ∫ ， 于是 1 I = 1 ( ln sin cos ) 2 x + +x x +C ，I 2= 1 ( ln sin cos ) 2 x − x + + x C 。 8．求下列不定积分的递推表达式（n为非负整数）： ⑴ I n = ∫ xdx n sin ; ⑵ I n = ∫ xdx n tan ; ⑶ I n = dx x n cos ∫ ; ⑷ I n = x x d n ∫ sin x ; ⑸ I n = e sin x n ∫ x dx ; ⑹ I n = ∫ x xdx n ln α ; ⑺ I n = x x dx n 1 2 − ∫ ; ⑻ I n = dx x x n 1+ ∫ . 解（1） I n = = ∫ xdx n sin ∫ ∫ − − − − xd x = − x x + n − x xdx n 1 n 1 n 2 2 sin cos sin cos ( 1) sin cos ∫ = − + − − − − x x n x x dx n n sin cos ( 1) sin (1 sin ) 1 2 2 = −sinn−1 x x cos + (n −1)(In−2 − In )， 于是 181