∫cos(nx)d= Icos(In x)+sin(nx)+C。 注:若令t=lnx,则可看出本题与第(13)题本质上是同一种类型题。 (17)(arcsin x) dx=x(arcsin x)2-2] arcsinxdx x(arcsinx)2+2 arcsinxdv1 x(arcsinx)2+2 1-x2 arcsinx-2x+C (18)令t=√x,则x=t2,于是 ∫√xe"d=2」lt=212-4」eh=2e(2-2)+4et (19)令t 则x=t2 于是 ∫ed=eh=2-2edm=2(-1)+c=2c(x+1-)+C。 (20)「mx+x)hk=xm(x+√+x)-「 dx xIn(x+ x+ 4.已知f(x)的一个原函数为 Sin x 1+xsin x 求∫(x)f(x)d 解由题意 sIn x cos x f(x)= 1+ x sin x丿(1+ sinx)2 于是 ∫(xy(xt(0=f(+c=m+C。 5.设f(sin2x)=cos2x+tn2x,求f(x) 解设t=sin2x,则 f()=1-2sin2x+ sIn. x l-21+ 1-sin 2x∫ cos(ln x d) x 1 [cos(ln ) sin(ln )] 2 = + x x x +C 。 注：若令t = ln x，则可看出本题与第（13）题本质上是同一种类型题。 （17）∫ (arcsin x)2 dx = ∫ − − xdx x x x x arcsin 1 (arcsin ) 2 2 2 ∫ = + − 2 2 x(arcsin x) 2 arcsin xd 1 x 2 2 = + x(arcsin x x ) 2 1− arcsin x − 2x +C 。 （18）令t = x ，则 ，于是 2 x = t x dx ∫ e x = te tdt = t ∫2 e t te dt t t ∫ 2 − 4 2 = e t t e dt t t ∫ 2 ( − 2 ) + 4 2 = 2 2 ( 2 2) 2 ( 2 2) t x e t − +t + c = e x − x + +C 。 （19）令t = x +1，则 x = t 2 −1 ，于是 e x dx + ∫ 1 = 1 2 e 2 2 2 ( 1) 2 ( 1 1) t t t t x tdt te e dt e t c e x C + = − = − + = + − + ∫ ∫ 。 （20）∫ ln(x+ 1+ x )dx 2 = ∫ + + + − dx x x x x x 2 2 1 ln( 1 ) 2 2 = + x ln(x x 1+ ) − 1+ x +C 。 4． 已知 f (x)的一个原函数为 x x x 1 sin sin + ，求∫ f (x) f ′(x)dx 。 解 由题意 f (x) = 2 2 (1 sin ) cos sin 1 sin sin x x x x x x x + − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ， 于是 ∫ f (x) f ′(x)dx = 2 2 2 4 1 (cos sin ) ( ) ( ) ( ) 2 2(1 sin ) x x f x df x f x C C x x − = + = + + ∫ 。 5．设 f ′(sin2 x) = cos 2x + tan2 x ，求 f (x)。 解 设t = sin 2 x，则 t t t t t x x f t x 2 1 1 1 1 2 1 sin sin ( ) 1 2sin 2 2 2 − − = − = − + − ′ = − + ， 180