高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 方程组的情形略。 7.空间曲线的切线及法平面和空间曲面的切平面与法线 曲线Tx=p(t),y=中(t),z=o(1)在点M(x,,z)处的切线方程为： x-x=y-出=3-0 p'(to)'(t)o'(t) 法平面方程为：p(t)(x-x)+'(t)y-yo)+⊙'(t。)(z-z)=0 曲面F(x,y,z)=0在点M(x,yo,z。)处的切平面方程为： F(xyo,20)(x-x)+F,(x,o,20)y-yo)+F(x,yo,20)(z-zo)=0 法线方程为： x-xo y-yo F(Xo>Yo,Zo)F(Xo,Yo,Zo)F(Xo:Yo2 Zo) 8.方向导数与梯度 函数z=(x,y)在点P(x,y)沿方向1的方向导数为： of of coso+ 其中p为x轴到方向1的转角. al ax y 函数z=(，)在点Px,)的梯度为：gradf(,)=i+) Ox dy 9.多元函数的极值 凡能使f(x,y)=0,f,(x,y)=0同时成立的点(xo,yo)称为函数z=f(x,y)的驻点。 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但是函数的驻点不一定是极值点。 函数z=∫(x,y)在点(x。,y。)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 f(xo,yo)=0,f (xo,yo)=0,f(xo,yo)=A,fv (xo,yo)=B,f (xo,yo)=C 则f(x,y)在(x。,y。)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值： (2)AC-B2<0时没有极值。 10.条件极值 条件极值是指函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值。求条件极值的方法有 两种：化为无条件极值和用拉格朗日乘数法