经济数学基础 第一章函数 方法二:将x+1看作一个变量,得(x)=x2+2x-6,后面的作法同方法一,分 别得出()1+2 6 f(0)=-6,f(1)=-3 例4判断函数fx)= logo.5(x2+1)的单调性 解:易知函数fx)=1ogsx2+1)为偶函数,偶函数的图形关于y轴对称,故只 需讨论x>0时函数的单调性 对任意x1>x2>0,有x2+1>x2+1 因为对数之底0.5<1,此时对数函数单调减少,故 logo.s(x2+1)<logo.s(x2+1), Ep fx1)<f(x2) 由单调性定义可知当x>0时,fx)=1og(x2+1)是单调减函数.再由偶函数的 性质可知当x<0时,f(x)=1oga(x2+1)是单调增函数 因此函数f(x)= logo.5(x2+1)在(-∞,O)上单调增加,在(0,+∞)上单调减少 例5设函数f(x)和g(x)都是奇函数,试证f(x)·g(x)是偶函数 证明:已知(x)和g(x)都是奇函数,由定义可知,对任意x,有 f(-x)=-f(x):g(-x)=-g(x),上两个等式的左右端分别相乘得 f-x)·g(-x)=(-f(x)·(-8(x)=fx)·g(x) 即对任意x有f-x)·g(-x)=x)·gx) 由定义可知f(x)·g(x)是偶函数 、函数的运算 例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算: (1)y=In(tan x2+1 (2)y=e cos'x 28经济数学基础 第一章 函数 ——28—— 方法二：将 x＋1 看作一个变量，得 f(x)=x 2＋2x－6，后面的作法同方法一，分 别得出 2 2 1 2 6 ) 1 ( x x x x f + − = ， f (0) = −6, f (1) = −3 例 4 判断函数 f(x)＝log0.5(x 2＋1)的单调性． 解:易知函数 f(x)＝log0.5(x 2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称，故只 需讨论 x＞0 时函数的单调性． 对任意 x1＞x2＞0，有 x1 2＋1＞x2 2＋1 因为对数之底 0.5＜1，此时对数函数单调减少，故 log0.5(x1 2＋1)＜log0.5(x2 2＋1),即 f(x1)＜f(x2) 由单调性定义可知当 x＞0 时，f(x)＝log0.5(x 2＋1)是单调减函数．再由偶函数的 性质可知当 x＜0 时，f (x)＝log0.5(x 2＋1)是单调增函数． 因此函数 f (x)＝log0.5(x 2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少． 例 5 设函数 f (x)和 g(x)都是奇函数，试证 f (x)·g(x)是偶函数． 证明：已知 f(x)和 g(x)都是奇函数，由定义可知，对任意 x，有 f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)，上两个等式的左右端分别相乘得 f(－x)·g(－x)＝(－f(x))·(－g(x))＝f(x)·g(x) 即对任意 x 有 f(－x)·g(－x)＝f(x)·g(x) 由定义可知 f (x)·g(x)是偶函数． 二、函数的运算 例 1 将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算： (1)y＝ln(tan x 2 + 1 )；(2)y＝e x 2 cos2x