0 由P=100,得Pn 73 001 因此,B+2E的三个特征值分别为9,9,3 对应于特征值9的全部特征向量为 kPn+k2Pn2=k|-1+k|-1,其中k,k2是不全为零的任意常数 对应于特征值3的全部特征向量为 kPn2=k1,其中k3是不为零的任意常数 【评注】设B=PAP,若是A的特征值,对应特征向量为n,则B与A有相同 的特征值,但对应特征向量不同,B对应特征值λ的特征向量为Pn 本题计算量大,但方法思路都是常规和熟悉的,主要是考査考生的计算能力。不过利用 相似矩阵有相同的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论,可适当降低计算量,这方 面可参见类似例题《考研数学大串讲》P214【例5】,《数学最后冲刺》P136【例3】 十、(本题满分8分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 4: ax+2by+3c=0 l2:bx+2cy+3a=0, 13: Cx+ 2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0 【分析】三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩 阵与增广矩阵的秩均为2 【详解】方法一:必要性 设三条直线l1,l2,l3交于一点,则线性方程组 ax+ 2by=-3 bx+2cy= -3a (*) .36 有唯一解,故系数矩阵A=|b2与增广矩阵=b2c-3a|的秩均为2,于是 3616 由           − = − 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 P ，得           = − − 0 1 1 1 1 P  ，           − − = − 1 1 1 2 1 P  ，           = − 1 1 0 3 1 P  . 因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3. 对应于特征值 9 的全部特征向量为           − − +           + = − − − 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 k P  k P  k k ，其中 1 2 k ,k 是不全为零的任意常数； 对应于特征值 3 的全部特征向量为           = − 1 1 0 3 3 1 3 k P  k ，其中 3 k 是不为零的任意常数. 【评注】 设 B P AP −1 = ，若  是 A 的特征值，对应特征向量为  ，则 B 与 A 有相同 的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值  的特征向量为 . 1 − P 本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利用 相似矩阵有相同的特征值以及 A 与 A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量，这方 面可参见类似例题《考研数学大串讲》P.214【例 5】，《数学最后冲刺》P.136【例 3】. 十 、（本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l ax + 2by + 3c = 0， : 2 l bx + 2cy + 3a = 0， : 3 l cx + 2ay + 3b = 0 . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a +b + c = 0. 【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩 阵与增广矩阵的秩均为 2. 【详解】 方法一：必要性 设三条直线 1 2 3 l ,l ,l 交于一点，则线性方程组      + = − + = − + = − 2 3 , 2 3 , 2 3 , cx ay b bx cy a ax by c (*) 有唯一解，故系数矩阵           = c a b c a b A 2 2 2 与增广矩阵           − − − = c a b b c a a b c A 2 3 2 3 2 3 的秩均为 2，于是