注:本题也可令x=1+sint,得到 J(+sin('dr 7.求下列极限: lP+2p+3P+…+i li (p>0) 2丌 (3) (n-1) n 解(1)原式 xdx 2)原式 n (3)原式 2 求下列定积分: cos xax (2)「 sin"x dx (4)x2(1-4x2)d (6∫xln"xd 解(1)「 cos" xdx= cos"xdx+ cos" xdx 在第二个积分中,令t=丌-x,则 xx=-.cos"(x-1)d=(-1) tdu 所以当n为奇数时,∫ cos"xdx=0;3 2 2 2 4 2 4 π π = − − + ⋅ = π − 。 注：本题也可令 x = 1+ sint，得到 2 4 3 (1 sin ) 2 0 2 2 1 0 = + = − − ∫ ∫− dx π t dt π x x x 。 7. 求下列极限： ⑴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + →∞ 2 2 2 2 1 2 3 1 lim n n n n n n " ; ⑵ lim n p p p p n →∞ n + 1 2 + + 3 + + 1 " p ( p > 0 ); ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + →∞ n n n n n n π π ( 1)π sin 2 sin sin 1 lim " 。 解（1）原式= 1 0 1 2 3 1 1 1 limn 2 n xdx →∞ nnn n n ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ + + + + = = ⎝ ⎠ " ∫ 。 （2）原式= 1 0 1 1 1 lim 1 p n p n i i x dx →∞ = n n p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ = = ⎝ ⎠ + ∑ ∫ 。 （3）原式= 1 1 0 1 1 2 lim sin sin n n i i xdx n n π π π − →∞ = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ 。 8. 求下列定积分： ⑴ 0 cos n xdx π ∫ ; ⑵ sinn x dx −∫ π π ; ⑶ ( ) a x dn a 2 2 0∫ − x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 2 10 x (1 4x ) dx ; (5) ∫ 1 0 x ln xdx n m ; (6) ∫ e n x xdx 1 ln . 解（1） 2 2 0 0 cos cos cos n n n xdx xdx xdx π π π π = + ∫ ∫ ∫ ， 在第二个积分中，令t = π − x ，则 2 2 2 0 0 cos cos ( ) ( 1) cos n n n n xdx t dt tdt π π π π = − π − = − ∫ ∫ ∫ ， 所以当n为奇数时， 0 cos 0 n xdx π = ∫ ; 221